y=arctan⁡xy = \arctan x

逆正接 y=arctan⁡xy = \arctan x

arctan⁡x\arctan x（逆正接、アークタンジェント）は、正接関数 tan⁡\tan の逆関数です1。tan⁡\tan は周期 π\pi の関数なので、単調に増加する区間 (−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) に制限し、その逆関数（主値）を arctan⁡\arctan と定めます。

定義

y=arctan⁡xy = \arctan x は、次の 22 つを同時に満たす yy です。

  • tan⁡y=x\tan y = x
  • −π2<y<π2-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}

定義域と値域

tan⁡\tan はこの区間で全実数をとるため、arctan⁡\arctan の定義域はすべての実数です。値域は開区間 (−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) で、端の値には届きません。

対称性と増減

arctan⁡(−x)=−arctan⁡x\arctan(-x) = -\arctan x が成り立つ奇関数で、グラフは原点対称です。導関数は次のとおりです。

ddxarctan⁡x=11+x2\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

つねに正なので単調に増加します。分母が 00 にならないため、実数全体でなめらかです。逆正弦や逆余弦のように端で接線が垂直になることもありません。

漸近線

xxarctan⁡x\arctan x
→−∞\to -\infty→−π2\to -\dfrac{\pi}{2}
−3-\sqrt{3}−π3-\dfrac{\pi}{3}
−1-1−π4-\dfrac{\pi}{4}
0000
11π4\dfrac{\pi}{4}
3\sqrt{3}π3\dfrac{\pi}{3}
→+∞\to +\infty→π2\to \dfrac{\pi}{2}

水平漸近線 y=π2y = \dfrac{\pi}{2} と y=−π2y = -\dfrac{\pi}{2} をもち、緩やかな S 字型の曲線になります。値がこの 22 直線を超えることはありません。

変曲点

二階導関数は y′′=−2x(1+x2)2y'' = -\dfrac{2x}{(1 + x^2)^2} で、符号が変わるのは x=0x = 0 だけです。したがって変曲点は原点ただ 11 つで、そこが対称の中心でもあります。原点付近では arctan⁡x≈x\arctan x \approx x です。

級数と円周率

原点のまわりの展開は次のとおりで、区間 [−1,1][-1, 1] で収束します。

arctan⁡x=x−x33+x55−⋯\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots

x=1x = 1 を代入すると arctan⁡1=π4\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4} から、ライプニッツの級数が得られます2。

π4=1−13+15−17+⋯\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots

ただし収束は非常に遅く、実際の円周率の計算には arctan⁡15\arctan\dfrac{1}{5} のように小さな値を使う公式が用いられます。

偏角と atan2

平面上の点 (x,y)(x, y) の偏角を求めるとき、arctan⁡yx\arctan\dfrac{y}{x} をそのまま使うと第 11 象限と第 33 象限、第 22 象限と第 44 象限が区別できません。多くのプログラミング言語が二引数の atan2 を別に用意しているのは、この曖昧さを避けて全方向を正しく返すためです。

応用

  • 傾きから角度を求める計算
  • 積分 ∫dx1+x2=arctan⁡x+C\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C
  • 信号処理や制御工学における位相の計算
  • コンピューターグラフィックスの回転と方向
  1. Inverse trigonometric functions、Wikipedia
  2. Leibniz formula for pi、Wikipedia