逆正接 $y = \arctan x$

$\arctan x$（逆正接、アークタンジェント）は、正接関数 $\tan$ の逆関数です。$\tan$ は周期 $\pi$ の関数なので、単調に増加する区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ に制限し、その逆関数（主値）を $\arctan$ と定めます。

定義

$y = \arctan x$ は $\tan y = x$ かつ $-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}$ を満たす $y$ です。

定義域と値域

$\tan$ はこの区間で全実数を取るため、$\arctan$ の定義域は全実数 $(-\infty, \infty)$ です。値域は開区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ です。

対称性と増減

$\arctan$ は奇関数で $\arctan(-x) = -\arctan x$ が成り立ち、グラフは原点対称です。導関数は

で常に正なので単調に増加します。この導関数は分母が $0$ にならないため、全実数で滑らかです。

漸近線と極限

$x \to +\infty$ のとき $\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$、$x \to -\infty$ のとき $\arctan x \to -\dfrac{\pi}{2}$ となります。したがって水平漸近線 $y = \dfrac{\pi}{2}$ と $y = -\dfrac{\pi}{2}$ を持ち、緩やかな S 字型の曲線になります。値がこの 2 直線を超えることはありません。

特徴的な点

原点 $(0, 0)$ を通り、そこが変曲点です。原点付近では $\arctan x \approx x$ です。例えば $\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}$、$\arctan \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\pi}{6}$、$\arctan \sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}$ です。

関連と応用

$\arctan$ は円周率の計算に用いられ、$\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}$ からライプニッツの級数などが導かれます。平面上の点 $(x, y)$ の偏角を求める $\operatorname{atan2}$ の基礎でもあり、信号処理や制御工学、コンピューターグラフィックスで広く使われます。