y = \sqrt{1 - x^2}

無理関数 $y = \sqrt{1 - x^2}$ のグラフ（上半円）

$y = \sqrt{1 - x^2}$ は、原点を中心とする半径 $1$ の円の上半分を表す無理関数です¹。両辺を $2$ 乗すると、単位円の方程式が現れます。

x^2 + y^2 = 1

円そのものは、 $1$ つの $x$ に $y$ が $2$ つ対応するので関数になりません。根号を正の側だけにとって上半分を切り出したものが、この関数です。

定義域と値域

定義域は $-1 \leq x \leq 1$
値域は $0 \leq y \leq 1$
偶関数
定義域が有限の区間に閉じている

根号の中は $0$ 以上でなければならないので、 $1 - x^2 \geq 0$ から定義域が決まります。区間が閉じているのが、他の多くの関数と違うところです。

増減と最大点

導関数は $y' = \dfrac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$ です。 $x < 0$ では正なので増加し、 $x > 0$ では負なので減少します。 $x = 0$ で最大値 $1$ をとり、その点が半円の頂上です。頂上での接線は水平になります。

端点での接線

$x$ が $\pm 1$ に近づくと分母が $0$ に近づくため、 $|y'| \to \infty$ となります。したがって端点 $(-1, 0)$ と $(1, 0)$ では接線が垂直に立ち、そこで微分はできません。円の接線が半径と直交することを思い出せば、これは当然の結果です。曲線は $x$ 軸に垂直にぶつかって終わります。

特徴的な値

$x$	$y$
$0$	$1$
$\pm\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\pm 1$	$0$

曲線上の点はつねに原点からの距離が $1$ で、曲がり具合もどこでも一定です。放物線のように場所によって曲率が変わることはありません。

他の表し方

$x = \cos\theta$ 、 $y = \sin\theta$ （ $0 \leq \theta \leq \pi$ ）と媒介変数で表せます。下半分は $y = -\sqrt{1 - x^2}$ で、 $2$ つを合わせて円全体になります。半径 $r$ の円にすれば $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ です。

積分と $\pi$

この曲線と $x$ 軸で囲まれた面積は半円の面積そのものです。

\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}

積分によって $\pi$ を取り出せる、古典的で美しい例です。また $\sqrt{1 - x^2}$ を含む積分は $x = \sin\theta$ と置く三角関数置換の典型で、微分積分の教科書に必ず登場します。

Circle、Wikipedia

無理関数 y=1−x2y = \sqrt{1 - x^2}y=1−x2​ のグラフ（上半円）