y = \operatorname{artanh} x

逆双曲線正接 $y = \operatorname{artanh} x$

$\operatorname{artanh} x$ （逆双曲線正接、area hyperbolic tangent）は、双曲線正接 $\tanh x$ の逆関数です¹。 $\tanh$ は全実数を開区間 $(-1, 1)$ へ単調に写すため、その逆関数の定義域は $(-1, 1)$ になります。

定義と閉形式

$y = \operatorname{artanh} x$ は $x = \tanh y$ を満たす $y$ です。対数を用いると次のように書けます。

\operatorname{artanh} x = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}

この式は $\dfrac{1 + x}{1 - x} > 0$ 、すなわち $-1 < x < 1$ で意味をもちます。

両端 $x = \pm 1$ は含みません。 $\tanh$ が $\pm 1$ という値に決して達しなかったことの裏返しです。

$\operatorname{artanh}(-x) = -\operatorname{artanh} x$ が成り立つ奇関数で、グラフは原点対称です。導関数は次のとおりです。

\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}

定義域内では分母が正なのでつねに正となり、単調に増加します。

近づき方	$\operatorname{artanh} x$
$x \to 1^{-}$	$\to +\infty$
$x \to -1^{+}$	$\to -\infty$

直線 $x = 1$ と $x = -1$ が垂直漸近線です。有界だった $\tanh$ の逆関数なので、狭い区間のなかで値が限りなく大きくなります。

原点付近では $\operatorname{artanh} x \approx x$ ですが、端に近づくと急に立ち上がります。ただし発散は対数的なので、 $x$ を $0.99$ から $0.999$ にしても値は $3.8$ 程度にしかなりません。

原点のまわりの展開は奇数次の項だけからなり、 $|x| < 1$ で収束します。

\operatorname{artanh} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots

$\arctan x$ の展開と係数は同じで、符号が交互に入れ替わらない点だけが違います。

ラピディティでは、速度の合成が $\operatorname{artanh}$ を通すと単なる足し算になります。有界な速度の世界を、無限に広がる直線へ引き伸ばす座標変換だと見ることができます。