y=artanh⁡xy = \operatorname{artanh} x

逆双曲線正接 y=artanh⁡xy = \operatorname{artanh} x

artanh⁡x\operatorname{artanh} x（逆双曲線正接、area hyperbolic tangent）は、双曲線正接 tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} の逆関数です。tanh⁡\tanh は全実数を開区間 (−1,1)(-1, 1) へ単調に写すため、その逆関数の定義域は (−1,1)(-1, 1) になります。

定義と閉形式

y=artanh⁡xy = \operatorname{artanh} x は x=tanh⁡yx = \tanh y を満たす yy です。対数を用いると次のように書けます。

artanh⁡x=12ln⁡ ⁣1+x1−x\operatorname{artanh} x = \frac{1}{2}\ln\!\frac{1 + x}{1 - x}

この式は 1+x1−x>0\dfrac{1 + x}{1 - x} > 0、すなわち −1<x<1-1 < x < 1 で意味を持ちます。

定義域と値域

定義域は開区間 (−1,1)(-1, 1)、値域は全実数 (−∞,∞)(-\infty, \infty) です。両端 x=±1x = \pm 1 は含みません。

対称性と増減

artanh⁡\operatorname{artanh} は奇関数で artanh⁡(−x)=−artanh⁡x\operatorname{artanh}(-x) = -\operatorname{artanh} x が成り立ち、グラフは原点対称です。導関数は

ddxartanh⁡x=11−x2\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}

で、定義域内では常に正なので単調に増加します。

漸近線と極限

x→1−x \to 1^- のとき artanh⁡x→+∞\operatorname{artanh} x \to +\infty、x→−1+x \to -1^+ のとき artanh⁡x→−∞\operatorname{artanh} x \to -\infty となります。したがって直線 x=1x = 1 と x=−1x = -1 が垂直漸近線です。

特徴的な点

原点 (0,0)(0, 0) を通り、原点付近では artanh⁡x≈x\operatorname{artanh} x \approx x です。例えば artanh⁡0.5=12ln⁡3≈0.5493\operatorname{artanh} 0.5 = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.5493 です。

関連と応用

artanh⁡\operatorname{artanh} は統計学のフィッシャーの zz 変換（相関係数の変換）として現れるほか、特殊相対論では速度の合成（ラピディティ）に用いられます。積分 ∫dx1−x2\displaystyle\int \frac{dx}{1 - x^2} の結果としても現れます。