y=Γ(x)y = \Gamma(x)

ガンマ関数 y=Γ(x)y = \Gamma(x)

ガンマ関数 Γ(x)\Gamma(x) は、階乗 n!n! を整数だけでなく実数（さらには複素数）へと拡張した関数です。x>0x > 0 では次の積分で定義されます。

Γ(x)=∫0∞tx−1e−t dt\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t}\,dt

階乗との関係 部分積分から漸化式 Γ(x+1)=x Γ(x)\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x) が導かれ、正の整数 nn に対しては Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)! が成り立ちます。実際 Γ(1)=1\Gamma(1) = 1、Γ(2)=1\Gamma(2) = 1、Γ(3)=2\Gamma(3) = 2、Γ(4)=6\Gamma(4) = 6 と、階乗の値がそのまま現れます。

定義域 漸化式を使って x≤0x \le 0 へ拡張できますが、x=0,−1,−2,…x = 0, -1, -2, \dots では値が無限大に発散します。したがって定義域は、これらを除いたすべての実数です。

漸近線と極限 x=0,−1,−2,…x = 0, -1, -2, \dots の各点で垂直漸近線をもちます。x→+∞x \to +\infty では階乗と同じく急激に増大し、x→0+x \to 0^+ では +∞+\infty に発散します。負の領域では、隣り合う整数の間で符号を変えながら ±∞\pm\infty へ伸びる細いピークが並びます。

増減と極値 x>0x > 0 の範囲でガンマ関数は下に凸（対数凸）で、x≈1.4616x \approx 1.4616 で最小値 ≈0.8856\approx 0.8856 をとります。それより左では減少、右では増加に転じ、Γ(1)=Γ(2)=1\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1 の二点の間にこの谷があります。

特別な値と関係式 半整数では Γ ⁣(12)=π\Gamma\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} という美しい値をとります。これはガウス積分と結びついています。また相反公式 Γ(x) Γ(1−x)=πsin⁡(πx)\Gamma(x)\,\Gamma(1-x) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi x)} が成り立ち、x=12x = \dfrac{1}{2} を代入すると先の値が得られます。

応用と歴史 18 世紀にオイラーが階乗の補間問題として導入し、記号 Γ\Gamma はルジャンドルによります。確率分布（ガンマ分布・ベータ分布）、複素解析、組合せ論、物理学の各方面で基本的な役割を果たす、やや高度で重要な特殊関数です。