y = \Gamma(x)

ガンマ関数 $y = \Gamma(x)$

ガンマ関数 $\Gamma(x)$ は、階乗 $n!$ を整数だけでなく実数、さらには複素数へと拡張した関数です¹。 $x > 0$ では次の積分で定義されます。

\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t}\,dt

階乗との関係

部分積分から漸化式 $\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)$ が導かれ、正の整数 $n$ に対しては $\Gamma(n) = (n-1)!$ が成り立ちます。

$n$	$\Gamma(n)$	$(n-1)!$
$1$	$1$	$0! = 1$
$2$	$1$	$1! = 1$
$3$	$2$	$2! = 2$
$4$	$6$	$3! = 6$
$5$	$24$	$4! = 24$

添字が $1$ ずれるのは定義の慣習によるもので、 $\Gamma(x+1)$ のほうが階乗に素直に対応します。

定義域

漸化式を使って $x \leq 0$ へ拡張できますが、 $x = 0, -1, -2, \ldots$ では値が無限大に発散します。したがって定義域は、これらを除いたすべての実数です。 $\Gamma(x) = \dfrac{\Gamma(x+1)}{x}$ と書くと、 $x \to 0$ で分母が $0$ になることから発散が見てとれます。

漸近線と極限

$x = 0, -1, -2, \ldots$ の各点で垂直漸近線をもちます。 $x \to +\infty$ では階乗と同じく急激に増大し、 $x \to 0^{+}$ では $+\infty$ に発散します。負の領域では、隣り合う整数の間で符号を変えながら $\pm\infty$ へ伸びる細いピークが並びます。

増減と極値

$x > 0$ の範囲でガンマ関数は対数凸で、次の一点で最小値をとります。

項目	値
最小をとる $x$	$\approx 1.4616$
そこでの $\Gamma(x)$	$\approx 0.8856$

$\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1$ の二点の間にこの谷があります。それより左では減少、右では増加に転じます。

特別な値と関係式

半整数では美しい値をとります。

\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}

これはガウス積分と結びついています。また相反公式が成り立ちます。

\Gamma(x)\,\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}

$x = \dfrac{1}{2}$ を代入すると先の値が得られます。右辺の $\sin(\pi x)$ が整数で $0$ になることが、ガンマ関数が整数で発散することと対応しています。

応用と歴史

$18$ 世紀にオイラーが階乗の補間問題として導入し、記号 $\Gamma$ はルジャンドルによります²。

ガンマ分布・ベータ分布などの確率分布
複素解析における基本的な特殊関数
組合せ論の二項係数の連続化

Gamma function、Wikipedia
Gamma Function、NIST Digital Library of Mathematical Functions

ガンマ関数 y=Γ(x)y = \Gamma(x)y=Γ(x)