指数関数 $y = 2^x$ のグラフ

$y = 2^x$ は底を $2$ とする指数関数です。$x$ が $1$ 増えるごとに値が $2$ 倍になる、倍々に増える関数の代表です。

定義域と値域

定義域はすべての実数です。$2^x$ は決して $0$ にも負にもならないので、値域は $y > 0$ です。$x$ が負でも $2^{-1} = \dfrac{1}{2}$、$2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ のように小さな正の数になります。

増減

導関数は次のようになります。

$\ln 2 \approx 0.693$ は正の定数で $2^x > 0$ なので、$y'$ はつねに正となり単調に増加します。二階導関数 $y'' = 2^x (\ln 2)^2$ も正なので、グラフは全体が下に凸です。増えるほど増え方そのものが速くなる、加速する増加です。

漸近線と極限

$x \to -\infty$ では $2^x \to 0$ となり、$x$ 軸（直線 $y = 0$）が水平漸近線です。値はつねに正なので、曲線は上側から $x$ 軸に近づきます。$x \to +\infty$ では $+\infty$ に発散します。

倍々に増える

$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ なので、$x$ が $1$ 増えるたびに値がちょうど $2$ 倍になります。

$10$ 増えれば $2^{10} = 1024$ 倍、およそ $1000$ 倍です。最初はおとなしく見えても、やがてどんな多項式よりも速く増えます。$x$ が十分大きければ $2^x$ は $x^{100}$ すら追い越します。

特徴的な点

$(0, 1)$、$(1, 2)$、$(2, 4)$、$\left( -1, \dfrac{1}{2} \right)$ を通ります。$a^0 = 1$ なので、底が何であれ指数関数は必ず $(0, 1)$ を通ります。

底による違い

逆関数は $\log_2 x$ です。また $2^x = e^{x \ln 2}$ と書けるので、$y = e^x$ を横方向に縮めた形とも見られます。

$\left( \dfrac{1}{2} \right)^x = 2^{-x}$ は、このグラフを $y$ 軸で折り返した減少曲線になります。

応用

倍々に増える現象のモデルです。

• 細胞は $1$ 回の分裂で $2$ 倍になり、$n$ 回後には $2^n$ 個になる
• $2$ 進法では $n$ ビットで $2^n$ 通りを表せる
• 放射性崩壊のように半分ずつ減る現象は $2^{-t/T}$ と書ける

倍になるまでの時間が一定であることが、指数的な増加の本質です。