円の一般形と標準形

円の方程式は、展開された一般形で与えられることがあります。x2+y2−6x+4y−3=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 から、中心と半径を読み取れる標準形 (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 に直します。

xx と yy それぞれで平方完成します。x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9、y2+4y=(y+2)2−4y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 なので、

x2+y2−6x+4y−3=(x−3)2−9+(y+2)2−4−3=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0

定数をまとめると (x−3)2+(y+2)2−16=0(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 16 = 0、つまり

(x−3)2+(y+2)2=16(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16

です。標準形とくらべると、中心は (3,−2)(3, -2)、半径は 16=4\sqrt{16} = 4 と分かります。

一般に x2+y2+ℓx+my+n=0x^2 + y^2 + \ell x + m y + n = 0 は、xx と yy を平方完成すれば（右辺が正のとき）円の標準形になります。xx の係数 −6-6 の半分は −3-3、yy の係数 44 の半分は 22 で、これが中心の符号を反転したものにあたります。グラフの大きな点は中心 (3,−2)(3, -2) と、そこから右へ半径 44 の円周上の点 (7,−2)(7, -2) です。