円の一般形と標準形

円の方程式は、展開された一般形で与えられることがあります。x2+y2−6x+4y−3=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 から、中心と半径を読み取れる標準形 (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 に直します。

平方完成

xx と yy それぞれで平方完成します。x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9、y2+4y=(y+2)2−4y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 なので、次のように変形できます。

x2+y2−6x+4y−3=(x−3)2−9+(y+2)2−4−3=(x−3)2+(y+2)2−16\begin{align*} x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 &= (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 \\ &= (x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 16 \end{align*}

これが 00 に等しいので、標準形は次のようになります。

(x−3)2+(y+2)2=16(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16

中心は (3,−2)(3, -2)、半径は 16=4\sqrt{16} = 4 と読み取れます。

標準形が読みやすい理由

標準形が読みやすいのは、それが中心からの距離が rr である点の集まりという、円の定義そのものだからです。22 点間の距離の式 (x−a)2+(y−b)2=r\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r の両辺を 22 乗すれば、そのまま標準形になります。

一般に x2+y2+ℓx+my+n=0x^2 + y^2 + \ell x + m y + n = 0 は、xx と yy を平方完成すれば標準形になります。xx の係数 −6-6 の半分は −3-3、yy の係数 44 の半分は 22 で、これが中心の符号を反転したものにあたります。

円にならない場合

いつでも円になるとはかぎりません。平方完成したあとの右辺の符号で、33 通りに分かれます。

一般形右辺表す図形
x2+y2−6x+4y−3=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 01616半径 44 の円
x2+y2−6x+4y+13=0x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 000点 (3,−2)(3, -2) だけ
x2+y2−6x+4y+14=0x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0−1-1実数の点はなし

22 乗の和が負になることはないので、右辺が負だと満たす点は 11 つもありません。

円であるための条件

係数の形にも条件があります。

  • x2x^2 と y2y^2 の係数が違えば楕円になる
  • xyxy の項があれば図形が傾く
  • 平方完成した右辺が正のときだけ円になる

グラフの大きな点は中心 (3,−2)(3, -2) と、そこから右へ半径 44 の円周上の点 (7,−2)(7, -2) です。