放物線の接線

放物線の接線とは、曲線に触れるように接する直線のことです。接する点で、曲線と同じ傾きをもつ直線だと言いかえることもできます。ここでは放物線 $y = x^2$ 上の点 $(1, 1)$ における接線を求めます。

微分で求める

$y = x^2$ を微分すると $y' = 2x$ なので、 $x = 1$ での傾きは $2$ です。よって接線は次の式になります。

y - 1 = 2(x - 1)

整理して $y = 2x - 1$ となります。

重解として確かめる

接線であることは、微分を使わなくても確かめられます。放物線と直線を連立させると、次の式になります。

x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0

解は $x = 1$ の重解で、共有点はただ $1$ つです。 $2$ つの交点がちょうど $1$ 点に重なった状態、それが接するということでした。

判別式で求める

この見方を使えば、微分を知らなくても接線を求められます。点 $(1, 1)$ を通る傾き $m$ の直線を $y = m(x - 1) + 1$ とおき、放物線と連立すると $x^2 - mx + m - 1 = 0$ です。接する条件は判別式が $0$ になることなので、次の式を解きます。

D = m^2 - 4(m - 1) = (m - 2)^2 = 0

より $m = 2$ となり、微分で求めた傾きと一致します。判別式が $2$ 乗の形になり、接する傾きがただ $1$ つに決まるところが気持ちのよい点です。

接点を動かす

一般に、 $y = x^2$ 上の点 $(a, a^2)$ における接線は次の式です。

y = 2ax - a^2

接点	傾き	接線
$(-1, 1)$	$-2$	$y = -2x - 1$
$(0, 0)$	$0$	$y = 0$
$(1, 1)$	$2$	$y = 2x - 1$
$(2, 4)$	$4$	$y = 4x - 4$

接点を動かすと傾き $2a$ も変わり、その変わり方が導関数 $y' = 2x$ にほかなりません。その点での傾きを関数として取り出したものが微分だ、という考え方の出発点が、この接線です。

外側の点から引く接線

放物線の外側の点からは、接線が $2$ 本引けます。たとえば点 $(0, -1)$ を通る傾き $m$ の直線 $y = mx - 1$ を連立すると $x^2 - mx + 1 = 0$ 、判別式 $D = m^2 - 4 = 0$ より $m = \pm 2$ です。接点はそれぞれ $(1, 1)$ と $(-1, 1)$ で、放物線をはさむように $2$ 本の接線が引けます。放物線の内側の点からは $1$ 本も引けません。

直線による近似

接線は、その点の近くで曲線を直線として見る近似でもあります。 $x = 1$ の近くでは $x^2 \approx 2x - 1$ と見なせます。

$x$	接線の値	$x^2$ の値	ずれ
$1.01$	$1.02$	$1.0201$	$0.0001$
$1.1$	$1.2$	$1.21$	$0.01$
$1.5$	$2$	$2.25$	$0.25$

ずれは $(x - 1)^2$ そのもので、接点から離れるほど $2$ 乗で大きくなります。裏を返せば、接点のごく近くではずれが無視できるということです。曲線を局所的に直線で置きかえるこの考え方が、微分のあらゆる応用を支えています。グラフの大きな点が接点 $(1, 1)$ です。