三点を通る円

33 点 (0,0)(0, 0)、(4,0)(4, 0)、(0,2)(0, 2) を通る円を求めます。一直線上にない 33 点を通る円は、ただ 11 つに決まります。

一般形に代入する

円の方程式を一般形 x2+y2+ℓx+my+n=0x^2 + y^2 + \ell x + m y + n = 0 とおき、33 点を代入します。

点代入した式得られる値
(0,0)(0, 0)n=0n = 0n=0n = 0
(4,0)(4, 0)16+4ℓ+n=016 + 4\ell + n = 0ℓ=−4\ell = -4
(0,2)(0, 2)4+2m+n=04 + 2m + n = 0m=−2m = -2

未知数が ℓ\ell、mm、nn の 33 つ、条件が 33 本なので、ちょうど解けるわけです。よって x2+y2−4x−2y=0x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0 となり、平方完成すると次の形になります。

(x−2)2+(y−1)2=5(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5

中心は (2,1)(2, 1)、半径は 5\sqrt{5} です。

垂直二等分線から求める

まったく別の道すじでも求められます。円の中心は、通る 33 点すべてから等距離にある点です。22 点から等距離にある点の集まりは、その 22 点を結ぶ線分の垂直二等分線でした。

22 点垂直二等分線
(0,0)(0, 0) と (4,0)(4, 0)x=2x = 2
(0,0)(0, 0) と (0,2)(0, 2)y=1y = 1

この 22 本の交点が (2,1)(2, 1) で、さきほどの中心と一致します。半径は中心から (0,0)(0, 0) までの距離 22+12=5\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} です。

なぜ 11 つに決まるのか

この見方は、なぜ円がただ 11 つに決まるのかも教えてくれます。中心は 22 本の垂直二等分線の交点として定まり、交点が決まれば半径も決まるからです。33 本目の垂直二等分線も必ず同じ点を通るので、33 点から等距離という条件は矛盾なく満たされます。

逆に 33 点が一直線上に並んでいると、垂直二等分線どうしが平行になって交わらず、33 点を通る円は存在しません。放物線が 33 点で決まったのと似ていますが、円では一直線上に並ばないという条件が要る点が違います。

外接円と外心

この円は、33 点を頂点とする三角形の外接円であり、その中心は外心と呼ばれます。三角形の外心は 33 辺の垂直二等分線の交点である、というおなじみの事実が、いま座標のうえで確かめられたことになります。グラフの大きな点が、通る 33 点と中心 (2,1)(2, 1) です。