四次関数 $y = x^4$ のグラフ

$y = x^4$ は $x$ を $4$ 回掛け合わせた四次の単項式です。放物線 $y = x^2$ と似た形ですが、原点付近はより平らで、遠方ではいっそう急に立ち上がります。

定義域と値域

定義域はすべての実数です。偶数乗なので値は負にならず、値域は $y \geq 0$ に限られます。

• 定義域はすべての実数
• 値域は $y \geq 0$
• 最小値は $x = 0$ での $0$
• 変曲点はなし

対称性

$(-x)^4 = x^4$ より、$y$ 軸に関して線対称な偶関数です。$x$ と $-x$ で同じ値をとります。

増減と最小点

導関数は次のようになります。

$x < 0$ では負、$x > 0$ では正です。したがって $x < 0$ で減少し、$x > 0$ で増加して、$x = 0$ で最小値 $0$ をとります。

変曲点をもたない理由

二階導関数は $y'' = 12x^2$ で、つねに $0$ 以上です。したがってグラフは全体が下に凸になります。$x = 0$ では $y'' = 0$ になりますが、その前後で符号が変わらないため、原点は変曲点ではありません。$y'' = 0$ は変曲点の必要条件であって、十分条件ではないという例です。

放物線との比較

$|x| < 1$ では $x^4 < x^2$ となって原点付近はより平らにつぶれ、$|x| > 1$ では $x^4 > x^2$ となって急激に大きくなります。

$2$ つのグラフは $x = 0$ と $x = \pm 1$ で交わります。

特徴的な点

$(\pm 1, 1)$、$(\pm 2, 16)$、$(\pm 3, 81)$ を通り、原点で $x$ 軸に接します。原点付近では $x$ 軸にはりつくように平らで、$|x|$ が $1$ をこえたあたりから一気に立ち上がります。

逆関数と偶数乗の仲間

偶数乗のべき関数 $x^n$ の仲間です。$n$ が大きい偶数になるほど、$|x| < 1$ では平らにつぶれ、$|x| > 1$ では垂直に近く立ち上がります。$x \geq 0$ に制限すれば一対一の対応になり、その逆関数は $4$ 乗根 $y = \sqrt[4]{x}$ です。

低次の項を足すと

単項式の $x^4$ に低次の項を足すと、形は大きく変わります。$y = x^4 - x^2$ では底が割れて谷が $2$ つになり、W 字の曲線になります。$x^4$ は谷が $1$ つしかない、四次関数の最も素直な形です。

応用

• 等分布荷重を受けるはりのたわみは、位置についての四次式
• 物理の二重井戸型ポテンシャル $x^4 - x^2$ で、安定な $2$ つの底をつくる項
• 統計で分布の裾の重さを測る尖度は、$4$ 次のモーメント