y = \sinh x

双曲線正弦関数 $y = \sinh x$ のグラフ

双曲線正弦関数 $y = \sinh x$ は、指数関数を用いて次のように定義されます¹。

\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

「ハイパボリックサイン」と読み、三角関数の正弦 $\sin x$ に対応する双曲線関数です。

定義域と値域

指数関数 $e^x$ と $e^{-x}$ の差で定義されるため、すべての実数で値をもちます。三角関数の $\sin$ と違って値が有界でない点が、大きな違いです。

$\sinh(-x) = \dfrac{e^{-x} - e^{x}}{2} = -\sinh x$ が成り立つため奇関数で、グラフは原点に関して点対称です。

導関数は $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$ です。 $\cosh x$ はつねに $1$ 以上の正の値をとるため、 $\sinh x$ は実数全体で狭義単調増加します。極値はありません。

二階導関数は $\sinh x$ 自身なので、符号が変わるのは原点だけです。したがって変曲点は $(0, 0)$ ただ一つで、曲線はそこで上に凸から下に凸へ変わります。

\begin{align*} \cosh x + \sinh x &= e^x \\ \cosh x - \sinh x &= e^{-x} \end{align*}

指数関数を偶関数の部分と奇関数の部分に分けたものが $\cosh$ と $\sinh$ である、と読むこともできます。

水平な漸近線はもちません。テイラー展開は奇数次の項だけからなります。

\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots

$\sin x$ の展開と係数の絶対値は同じで、符号が交互に入れ替わらない点だけが違います。

双曲線余弦 $\cosh x$ との間に恒等式 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ が成り立ちます。この関係から、点 $(\cosh t, \sinh t)$ はつねに双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の上にあります。

三角関数における点 $(\cos t, \sin t)$ が単位円上にあることと対応しており、これが「双曲線関数」という名前の由来です。