双曲線正弦関数 $y = \sinh x$ のグラフ

双曲線正弦関数 $y = \sinh x$ は、指数関数を用いて次のように定義されます。

「ハイパボリックサイン」と読み、三角関数の正弦 $\sin x$ に対応する双曲線関数です。

定義域と値域

$\sinh x$ は指数関数 $e^x$ と $e^{-x}$ の差で定義されるため、すべての実数 $x$ に対して値を持ちます。したがって定義域は実数全体 $(-\infty, \infty)$ です。また値もあらゆる実数をとるため、値域も $(-\infty, \infty)$ となります。

対称性

$\sinh(-x) = \dfrac{e^{-x} - e^{x}}{2} = -\sinh x$ が成り立つため、$\sinh x$ は奇関数です。グラフは原点に関して点対称になります。

増減と単調性

導関数は $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$ です。$\cosh x$ はつねに $1$ 以上の正の値をとるため、$\sinh x$ は実数全体で増加し続けます。すなわち狭義単調増加関数です。

漸近的なふるまいと極限

原点付近では $\sinh x \approx x$ と近似でき、直線 $y = x$ に接するように振る舞います。$x$ が大きくなると $e^{-x}$ の項が無視できるほど小さくなり、$\sinh x \approx \dfrac{e^x}{2}$ となって指数関数的に急増します。逆に $x \to -\infty$ では $-\dfrac{e^{-x}}{2}$ が支配的となり、急激に減少して $-\infty$ に発散します。水平な漸近線は持ちません。

特徴的な点

原点 $(0, 0)$ を通り、$\sinh 0 = 0$ です。この点は変曲点でもあり、曲線はここで下に凸から上に凸へと変わります。

他の関数との関係

双曲線余弦 $\cosh x$ との間には恒等式 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ が成り立ちます。この関係から、点 $(\cosh t, \sinh t)$ はつねに双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の上にあります。三角関数における点 $(\cos t, \sin t)$ が単位円上にあることと対応しており、これが「双曲線関数」という名前の由来です。

応用

$\sinh x$ は、鎖や電線が自重で垂れ下がる懸垂線（カテナリー）の記述、弦の振動や熱伝導の方程式、さらには特殊相対性理論における速度の合成（ラピディティ）など、幅広い分野に登場します。