y=arcosh⁡xy = \operatorname{arcosh} x

逆双曲線余弦 y=arcosh⁡xy = \operatorname{arcosh} x

arcosh⁡x\operatorname{arcosh} x（逆双曲線余弦、area hyperbolic cosine）は、双曲線余弦 cosh⁡x=ex+e−x2\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} の逆関数です1。cosh⁡\cosh は偶関数で符号を変えた点でも同じ値をとるため、そのままでは逆関数を定義できません。そこで x≥0x \geq 0 の枝（主枝）に制限した逆関数を arcosh⁡\operatorname{arcosh} と呼びます。

定義と閉形式

y=arcosh⁡xy = \operatorname{arcosh} x は x=cosh⁡yx = \cosh y かつ y≥0y \geq 0 を満たす yy です。対数を用いると次の閉じた式になります。

arcosh⁡x=ln⁡(x+x2−1)\operatorname{arcosh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)

平方根の中身が 00 以上であるためには x≥1x \geq 1 が必要で、x<1x < 1 では実数値をとりません。

定義域と値域

  • 定義域は x≥1x \geq 1
  • 値域は y≥0y \geq 0
  • 単調に増加する
  • 偶でも奇でもない

cosh⁡\cosh の値域が [1,∞)[1, \infty) だったことが、そのまま逆関数の定義域に移ってきています。

増減

導関数は次のとおりです。

ddxarcosh⁡x=1x2−1(x>1)\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \quad (x > 1)

つねに正なので、定義域全体で単調に増加します。

端点での接線

グラフは点 (1,0)(1, 0) から始まります。この点では導関数の分母が 00 に近づくため傾きが限りなく大きくなり、接線は垂直になります。もとの cosh⁡\cosh が x=0x = 0 で水平な接線（最小点）をもつことが、逆関数では垂直な接線として現れます。xx が 11 から少し増えるだけで yy が急に立ち上がるのが特徴です。

特徴的な値

xxarcosh⁡x\operatorname{arcosh} x
1100
22ln⁡(2+3)≈1.3170\ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1.3170
33≈1.7627\approx 1.7627
1010≈2.9932\approx 2.9932

xx が大きいところでは x2−1≈x\sqrt{x^2-1} \approx x なので arcosh⁡x≈ln⁡(2x)\operatorname{arcosh} x \approx \ln(2x) となり、対数的にゆっくり増加します。水平漸近線はもちません。

逆双曲線正弦との対比

項目arsinh⁡x\operatorname{arsinh} xarcosh⁡x\operatorname{arcosh} x
定義域すべての実数x≥1x \geq 1
値域すべての実数y≥0y \geq 0
閉形式ln⁡(x+x2+1)\ln(x + \sqrt{x^2+1})ln⁡(x+x2−1)\ln(x + \sqrt{x^2-1})
導関数1x2+1\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}1x2−1\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}
端での接線なし(1,0)(1, 0) で垂直

平方根の中の符号が 11 つ違うだけで、定義域が実数全体か半直線かという大きな違いが生まれます。

応用

積分の結果として現れます。

∫dxx2−1=arcosh⁡x+C(x>1)\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcosh} x + C \quad (x > 1)

双曲線に関する幾何や、電磁気・熱伝導などの物理の計算に利用されます。

  1. Inverse hyperbolic functions、Wikipedia