逆双曲線余弦 $y = \operatorname{arcosh} x$

$\operatorname{arcosh} x$（逆双曲線余弦、area hyperbolic cosine）は、双曲線余弦 $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ の逆関数です。$\cosh$ は偶関数で $x$ とその符号を変えた点で同じ値を取るため、そのままでは逆関数を定義できません。そこで $x \ge 0$ の枝（主枝）に制限した逆関数を $\operatorname{arcosh}$ と呼びます。

定義と閉形式

$y = \operatorname{arcosh} x$ は $x = \cosh y$ かつ $y \ge 0$ を満たす $y$ です。対数を用いると次の閉じた式になります。

平方根の中身が $0$ 以上であるためには $x \ge 1$ が必要で、$x < 1$ では実数値を取りません。

定義域と値域

定義域は $x \ge 1$、すなわち $[1, \infty)$ です。値域は $y \ge 0$、すなわち $[0, \infty)$ です。

増減と対称性

導関数は

で常に正なので、定義域全体で単調に増加します。$\operatorname{arsinh}$ と違い偶でも奇でもなく、対称性は持ちません。

特徴的な点と接線

グラフは点 $(1, 0)$ から始まります。この点では導関数の分母が $0$ に近づくため傾きが無限大となり、接線は垂直になります。$x$ が $1$ から少し増えるだけで $y$ が急に立ち上がるのが特徴です。

極限と増加の速さ

$x$ が大きいところでは $\sqrt{x^2 - 1} \approx x$ なので $\operatorname{arcosh} x \approx \ln(2x)$ となり、対数的にゆっくり増加します。水平漸近線は持ちません。

具体値

例えば $\operatorname{arcosh} 1 = 0$、$\operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1.317$ です。

応用

積分 $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}}$ の結果として現れ、双曲線に関する幾何や、電磁気・熱伝導などの物理の計算に利用されます。