y = \sqrt{x^2+1}

双曲線の枝 $y = \sqrt{x^2+1}$

$y = \sqrt{x^2+1}$ は、根号の中に $x^2+1$ をもつ関数です。両辺を $2$ 乗すると双曲線の方程式が現れます¹。

y^2 - x^2 = 1

平方根は非負の値をとるので、この関数はその双曲線の上側の枝を表します。

定義域と値域

根号の中身 $x^2+1$ はつねに $1$ 以上で正なので、すべての実数で定義されます。

導関数は $y' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ です。 $x < 0$ で負、 $x > 0$ で正なので、最下点で最小値 $1$ をとり、そこから両側へ向かって単調に増加します。

$|x|$ が大きいところでは $\sqrt{x^2+1} \approx |x|$ となります。

方向	漸近線	$y'$ の極限
$x \to +\infty$	$y = x$	$1$
$x \to -\infty$	$y = -x$	$-1$

この二本が斜め漸近線です。

二階導関数は $y'' = \dfrac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$ で、つねに正です。したがってグラフは全域で下に凸であり、変曲点はありません。

$x = \sinh t$ とおくと $\sqrt{\sinh^2 t + 1} = \cosh t$ となり、この曲線は $(\sinh t, \cosh t)$ という媒介変数表示で表せます。恒等式 $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ が背景にあります。

なお、懸垂線 $y = \cosh x$ とは形が似ていますが別の曲線です。

曲線	$x$ が大きいところ
$y = \sqrt{x^2+1}$	直線 $y = x$ に近づく
$y = \cosh x$	$\dfrac{e^x}{2}$ で指数的に増える

相対性理論では、エネルギーと運動量の関係がこの形をしています。

E = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}

また $\sqrt{x^2 + \varepsilon}$ は絶対値 $|x|$ のとがった角をなめらかにする近似としても使われ、最適化の分野で重宝します。