双曲線の枝 $y = \sqrt{x^2+1}$

$y = \sqrt{x^2+1}$ は、根号の中に $x^2+1$ をもつ関数です。両辺を 2 乗すると $y^2 = x^2 + 1$、すなわち $y^2 - x^2 = 1$ となり、これは双曲線の方程式です。平方根は非負の値をとるので、この関数はその双曲線の 上側の枝 を表します。

定義域と値域 根号の中身 $x^2+1$ は常に $1$ 以上で正なので、すべての実数 $x$ で定義されます。最小でも $\sqrt{1} = 1$ なので、値域は $y \ge 1$ です。

対称性 $f(-x) = \sqrt{(-x)^2+1} = \sqrt{x^2+1} = f(x)$ より偶関数で、グラフは $y$ 軸に関して対称です。

増減と極値 導関数は $f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ です。$x < 0$ で負、$x > 0$ で正なので、最下点 $(0, 1)$ で最小値 $1$ をとり、そこから両側へ向かって単調に増加します。

漸近線と極限 $|x|$ が大きいところでは $\sqrt{x^2+1} \approx |x|$ となるため、右側では直線 $y = x$、左側では直線 $y = -x$ に限りなく近づきます。この二本が斜め漸近線です。実際、導関数は $x \to +\infty$ で $1$ に、$x \to -\infty$ で $-1$ に近づきます。

凹凸 二階導関数は $f''(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$ で、常に正です。したがってグラフは全域で下に凸（上に開いた形）であり、変曲点はありません。

他の関数との関係 双曲線関数を使って $x = \sinh t$ とおくと $\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\sinh^2 t + 1} = \cosh t$ となり、この曲線は $(\sinh t, \cosh t)$ という媒介変数表示で表せます。恒等式 $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ が背景にあります。なお、懸垂線 $y = \cosh x$ とは形が似ていますが別の曲線である点に注意が必要です。

応用 相対性理論では、エネルギーと運動量の関係 $E = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}$ がこの形をしています。また $\sqrt{x^2 + \varepsilon}$ は絶対値 $|x|$ のとがった角をなめらかにする近似としても使われ、最適化の分野で重宝します。