y = \lfloor x \rfloor

床関数 $y = \lfloor x \rfloor$ のグラフ

$y = \lfloor x \rfloor$ は、 $x$ を超えない最大の整数を返す関数です¹。床関数、あるいはガウス記号と呼ばれます。数直線の上で、 $x$ から左向きに見て最初に出会う整数、と考えると分かりやすいでしょう。

定義域と値域

定義域はすべての実数です。返る値はつねに整数なので、値域は整数全体という、とびとびの集合になります。連続な直線ではなく、離散的な高さしかとりません。

グラフは階段状です。各段は長さ $1$ の水平な線分で、整数のたびに $1$ だけ跳ね上がります。

各段は左端を含み、右端を含みません。たとえば $1 \leq x < 2$ ではつねに $y = 1$ で、 $x = 2$ に達した瞬間に $y = 2$ へ跳びます。

すべての整数で不連続です。整数 $n$ に右から近づくと極限は $n$ ですが、左から近づくと極限は $n - 1$ になり、両者が一致しません。跳びの大きさはつねに $1$ です。

整数以外の点では、まわりで値が一定なので微分でき、導関数は $0$ です。傾きが $0$ の平らな段と、突然の跳びだけでできた関数です。

$x$ が増えれば値は減らないので、単調に非減少です。ただし段の上では値が変わらないため、狭義の単調増加ではありません。

$\lfloor -1.2 \rfloor = -2$ であって $-1$ ではありません。床関数は小数を切り捨てるのではなく、つねに $-\infty$ の側へ丸めます。多くのプログラミング言語で整数除算が $0$ の側へ丸めるのとは違う挙動なので、負の数を扱うときは注意が必要です。

正の整数 $N$ の桁数は、床関数を使って次のように求まります。

\lfloor \log_{10} N \rfloor + 1

整数除算の商 $\left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor$ 、配列の添字の計算、ページ送りの計算など、連続した量を段階に区切る場面で広く使われます。