二次関数の最大・最小

二次関数の最大・最小は、グラフの頂点で決まります。 $y = -x^2 + 4x - 1$ の最大値を求めます。

上に凸の放物線

$x^2$ の係数が負なので、このグラフは上に凸の放物線です。上に凸のとき、頂点がグラフのいちばん高い点になり、そこで最大値をとります。下へはどこまでも伸びるので、最小値はありません。

平方完成で求める

\begin{align*} -x^2 + 4x - 1 &= -(x^2 - 4x) - 1 \\ &= -\left( (x - 2)^2 - 4 \right) - 1 \\ &= -(x - 2)^2 + 3 \end{align*}

頂点は $(2, 3)$ です。 $-(x - 2)^2$ は $2$ 乗の $-1$ 倍なのでつねに $0$ 以下で、いちばん大きくなるのは $x = 2$ のときです。よって $x = 2$ で最大値 $3$ をとります。

微分で求める

$y' = -2x + 4$ を $0$ とおくと $x = 2$ 、そこで $y'' = -2 < 0$ なので極大です。平方完成が式の形から頂点を見つけるのに対し、微分は傾きが $0$ になる場所から頂点を見つけます。道すじは違っても、たどりつく点は同じです。

一般の形

$y = a(x - p)^2 + q$	向き	最大・最小
$a > 0$	下に凸	$x = p$ で最小値 $q$
$a < 0$	上に凸	$x = p$ で最大値 $q$

最大か最小かは $x^2$ の係数の符号だけで決まります。平方完成をせずに $y = ax^2 + bx + c$ のまま頂点の $x$ 座標を出すなら、公式 $x = -\dfrac{b}{2a}$ が使えます。この例では $-\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$ となり、やはり $x = 2$ です。

範囲が限られている場合

注意したいのは、 $x$ の範囲が限られている場合です。頂点がその範囲の外にあると、最大・最小は範囲の端でとることになります。

範囲	最大値	最小値
$0 \leq x \leq 1$	$x = 1$ で $2$	$x = 0$ で $-1$
$0 \leq x \leq 3$	$x = 2$ で $3$	$x = 0$ で $-1$
$3 \leq x \leq 5$	$x = 3$ で $2$	$x = 5$ で $-6$

最初の範囲では頂点の $x = 2$ が外にあり、関数は増加し続けるので、両端が最大・最小になります。範囲つきの問題では、頂点が中にあるかどうかを必ず確かめます。

応用

周の長さが $20$ の長方形で面積を最大にするには、縦を $x$ とすると横は $10 - x$ なので、面積は次のようになります。

S = x(10 - x) = -x^2 + 10x

頂点は $x = 5$ なので、縦も横も $5$ の正方形のとき面積が最大の $25$ になります。和が一定なら積は等しいときに最大になる、という関係の一例です。グラフの大きな点が、最大値をとる頂点 $(2, 3)$ です。