二次関数の最大・最小

二次関数の最大・最小は、グラフの頂点で決まります。$y = -x^2 + 4x - 1$ の最大値を求めます。

$x^2$ の係数が負なので、このグラフは上に凸の放物線です。上に凸のとき、頂点がグラフのいちばん高い点になり、そこで最大値をとります（下限はなく、最小値はありません）。

頂点は平方完成で求めます。$-x^2 + 4x - 1 = -(x^2 - 4x) - 1 = -\left((x - 2)^2 - 4\right) - 1 = -(x - 2)^2 + 3$ となるので、頂点は $(2, 3)$ です。$-(x - 2)^2$ は $2$ 乗の $-1$ 倍なのでつねに $0$ 以下で、いちばん大きくなるのは $x = 2$ のとき。よって $x = 2$ で最大値 $3$ をとります。

一般に $y = a(x - p)^2 + q$ は、$a < 0$（上に凸）なら $x = p$ で最大値 $q$、$a > 0$（下に凸）なら $x = p$ で最小値 $q$ をとります。最大か最小かは $x^2$ の係数の符号だけで決まります。グラフの大きな点が、最大値をとる頂点 $(2, 3)$ です。