y = \sqrt{x}

無理関数 $y = \sqrt{x}$ のグラフ

$y = \sqrt{x}$ は、 $2$ 乗すると $x$ になる $0$ 以上の数を表します¹。指数を使って $x^{1/2}$ とも書け、根号を含むことから無理関数と呼ばれます。放物線 $y = x^2$ を横に倒した形の曲線です。

定義域と値域

実数を $2$ 乗しても負にならないので、 $\sqrt{x}$ が実数になるのは $x \geq 0$ のときだけです。負の $x$ に対しては実数の値をもたず、描くべき曲線がありません。

導関数は $x > 0$ で $y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ です。つねに正なので単調に増加しますが、 $x$ が大きくなるほど傾きは小さくなり、増え方はだんだんゆるやかになります。

二階導関数は $y'' = -\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}$ で負なので、グラフは全体が上に凸です。上に有界ではなく、ゆっくりとどこまでも増え続けます。

$x \to 0^{+}$ のとき $y' \to +\infty$ となり、原点では接線が $y$ 軸に重なって垂直に立ちます。曲線は原点から垂直に立ち上がり、すぐに寝ていきます。原点は定義域の端であり、そこでは微分できません。

$\sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$ なので、 $x$ を $4$ 倍にすると $y$ は $2$ 倍になります。 $x$ が $100$ 倍になっても $y$ は $10$ 倍にしかなりません。

$y = x^2$ を $x \geq 0$ に制限した関数の逆関数で、 $2$ つのグラフは直線 $y = x$ に関して線対称です。べき関数 $x^p$ の $p = \dfrac{1}{2}$ の場合にあたり、 $0 < p < 1$ なので原点付近では急に、遠方ではゆるやかに増えます。

累乗根	定義域	理由
偶数乗根（ $\sqrt{x}$ 、 $\sqrt[4]{x}$ ）	$x \geq 0$	偶数乗は負にならない
奇数乗根（ $\sqrt[3]{x}$ 、 $\sqrt[5]{x}$ ）	すべての実数	奇数乗は符号を保つ

統計では、標本平均の誤差はデータ数 $n$ に対して $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ で小さくなります。誤差を半分にするにはデータが $4$ 倍必要だ、というのはこの曲線の形が語っていることです。