y = \sqrt{|x|}

無理関数 $y = \sqrt{|x|}$ のグラフ

$y = \sqrt{|x|}$ は $x$ の絶対値の平方根です。 $|x|$ がつねに $0$ 以上なので根号の中身が負になることはなく、実数全体で定義できます。

定義域と対称性

$x \geq 0$ では $y = \sqrt{x}$ 、 $x < 0$ では $y = \sqrt{-x}$ と場合分けできます。右半分は $\sqrt{x}$ そのもので、それを $y$ 軸で折り返して左へ広げた形になります。

範囲	導関数	$x \to 0$ での極限
$x > 0$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$+\infty$
$x < 0$	$-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}$	$-\infty$

原点では両側の接線がともに垂直に切り立ちます。そのため原点は鋭くとがった点（尖点）になり、そこでは微分できません¹。

折れ線の絶対値 $y = |x|$ が原点で角をもつのと同じですが、こちらは接線が垂直になる分だけいっそう鋭く見えます。

$|x|$ が $4$ 倍になるごとに $y$ が $2$ 倍になります。原点から離れると $|x|$ よりも値の増え方はゆるやかで、 $x = 100$ では $|x| = 100$ に対し $\sqrt{|x|} = 10$ にとどまります。

同じく原点に尖点をもつ $y = x^{2/3}$ と似ていますが、原点付近では $\sqrt{|x|}$ のほうがゆっくり $0$ に近づきます。

原点の近くでは前者が上、遠方では後者が上にきます。

平方根と絶対値を組み合わせた基本的な合成関数で、関数を偶関数にする操作や、原点での特異な振る舞いを学ぶ題材としてよく使われます。距離やばらつきに関係する量を扱う場面にも現れます。