無理関数 $y = \sqrt{|x|}$ のグラフ

$y = \sqrt{|x|}$ は $x$ の絶対値 $|x|$ の平方根です。$|x|$ が常に $0$ 以上なので根号の中身が負になることはなく、定義域はすべての実数、値域は $y \geq 0$ です。$x \geq 0$ では $y = \sqrt{x}$、$x < 0$ では $y = \sqrt{-x}$ と場合分けできます。

$|-x| = |x|$ なので $\sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|}$ が成り立ち、$y$ 軸に関して左右対称な偶関数です。右半分は $\sqrt{x}$ そのもので、それを $y$ 軸で折り返して左へ広げた形になります。

$x > 0$ では $y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$、$x < 0$ では $y' = -\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}$ です。$x \to 0^{+}$ で $y' \to +\infty$、$x \to 0^{-}$ で $y' \to -\infty$ となり、原点では両側の接線がともに垂直に切り立ちます。そのため原点は鋭くとがった点（尖点）になり、そこでは微分できません。

増減としては $x < 0$ で減少、$x > 0$ で増加し、原点 $(0, 0)$ で最小値 $0$ をとります。全体としては両側がゆるやかに立ち上がる、鳥が翼を広げたような形です。具体的な値は $x = \pm 1$ で $y = 1$、$x = \pm 4$ で $y = 2$、$x = \pm 9$ で $y = 3$ で、$|x|$ が $4$ 倍になるごとに $y$ が $2$ 倍になります。

折れ線の絶対値 $y = |x|$ が原点で角（とがり）をもつのと同じように $y = \sqrt{|x|}$ も原点で微分できませんが、こちらは接線が垂直になる分だけいっそう鋭く見えます。原点から離れると $|x|$ よりも値の増え方はゆるやかで、たとえば $x = 100$ では $|x| = 100$ に対し $\sqrt{|x|} = 10$ にとどまります。

同じく原点に尖点をもつ $y = x^{2/3}$ と似ていますが、原点付近では $\sqrt{|x|}$ の方がゆっくり $0$ に近づきます。たとえば $x = 0.01$ では $\sqrt{|x|} = 0.1$ に対し $x^{2/3} \approx 0.046$ です。

平方根と絶対値を組み合わせた基本的な合成関数で、関数を偶関数にする操作や、原点での特異な振る舞い（尖点）を学ぶ題材としてよく使われます。距離やばらつきに関係する量を扱う場面にも現れます。