対数関数と底

底の異なる $3$ つの対数関数 $y = \log_2 x$、$y = \ln x$、$y = \log_{10} x$ を比べます。どれも $x > 0$ で定義され、$x = 1$ のとき $y = 0$ なので、すべて $(1, 0)$ を通ります。どんな底でも $0$ 乗すると $1$ になるので、$\log_a 1 = 0$ が必ず成り立つからです。

$y = 1$ になる位置

$y = 1$ になるのは $x$ が底に等しいときです。

底が小さいほど速く増えます。$\log_2 x$ は $x$ が $2$ 倍になるごとに $1$ 増えるのに対し、$\log_{10} x$ は $10$ 倍になってようやく $1$ 増えるからです。

形はまったく同じ

じつは、この $3$ 本のグラフは形がまったく同じです。底の変換公式によって、どの対数も $\ln x$ の定数倍で書けるからです。

$\log_2 x \approx 1.44 \ln x$、$\log_{10} x \approx 0.434 \ln x$ ですから、$3$ 本は同じ曲線を縦に伸ばしたり縮めたりしただけの関係にあります。どの $x$ をとっても $3$ つの値の比は $1.44 : 1 : 0.434$ で一定です。

共通の性質

ですから、性質もそっくり同じです。どれも単調に増加し、$x \to 0^{+}$ で $-\infty$ に発散し、$y$ 軸を垂直漸近線にもち、$(1, 0)$ を通ります。違うのは縦の目盛りだけ、と言ってもよいでしょう。なお底が $1$ より小さい場合、たとえば $\log_{1/2} x = -\log_2 x$ は上下がひっくり返り、単調減少になります。

底の使い分け

大きな点は共通の $(1, 0)$ と、$\log_2 x$・$\ln x$ が $y = 1$ をとる $(2, 1)$・$(e, 1)$ です。