余接関数 $y = \cot x$ のグラフ

余接関数 $y = \cot x$ は、余弦を正弦で割った比として定義される三角関数です。「コタンジェント」と読み、正接 $\tan x$ の逆数でもあります。

定義と式

定義域と値域

$\sin x = 0$ となる $x = n\pi$（$n$ は整数）では定義できません。定義域はこれらの点を除いた実数全体で、値域はすべての実数です。正接と同様、値そのものに上限・下限はありません。

対称性と周期性

$\cot(-x) = -\cot x$ が成り立つ奇関数で、原点に関して点対称です。周期は正接と同じく $\pi$ で、これは $2\pi$ より短い点が正弦・余弦と異なります。

漸近線と極限

$x = n\pi$ の各点に垂直な漸近線をもちます。$x \to 0^{+}$（右から）では $\cot x \to +\infty$、$x \to \pi^{-}$（左から）では $\cot x \to -\infty$ となります。

増減と零点

各区間 $(n\pi,\ (n+1)\pi)$ で単調に減少します（$+\infty$ から $-\infty$ へ）。導関数は $\dfrac{d}{dx}\cot x = -\dfrac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$ で、つねに負であることが単調減少を裏づけます。零点は $\cos x = 0$ となる $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ です。

具体的な値の例を挙げます。

• $\cot\dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3}$
• $\cot\dfrac{\pi}{4} = 1$
• $\cot\dfrac{\pi}{2} = 0$

グラフの形

一つの区間、たとえば $0 < x < \pi$ を見ると、左端の漸近線の近くで $+\infty$ から始まり、$x = \dfrac{\pi}{2}$ で $0$ を横切り、右端の漸近線に向かって $-\infty$ へ下がっていきます。この形が周期 $\pi$ ごとに平行移動して繰り返され、零点 $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ は各区間のちょうど中央に位置します。

他の関数との関係

$\cot x = \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ で正接と結ばれます。正接のグラフを反転させて $\dfrac{\pi}{2}$ ずらした形とも見られます。

応用

余接は角度と長さの関係（測量・三角測量）、複素解析や級数（$\pi \cot \pi x$ の部分分数展開）など、幅広い場面に現れます。