y=cot⁡xy = \cot x

余接関数 y=cot⁡xy = \cot x のグラフ

余接関数 y=cot⁡xy = \cot x は、余弦を正弦で割った比として定義される三角関数です1。「コタンジェント」と読み、正接 tan⁡x\tan x の逆数でもあります。

定義

cot⁡x=cos⁡xsin⁡x=1tan⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}

定義域と値域

  • 定義域は x≠nπx \neq n\pi を満たす実数
  • 値域はすべての実数
  • 周期は π\pi
  • 奇関数

正接と同様、値そのものに上限も下限もありません。

対称性と周期性

cot⁡(−x)=−cot⁡x\cot(-x) = -\cot x が成り立つ奇関数で、原点に関して点対称です。周期は正接と同じ π\pi で、2π2\pi より短い点が正弦・余弦と異なります。

漸近線と極限

x=nπx = n\pi の各点に垂直な漸近線をもちます。

近づき方cot⁡x\cot x
x→0+x \to 0^{+}+∞+\infty
x→π−x \to \pi^{-}−∞-\infty

増減と零点

導関数は次のとおりです。

ddxcot⁡x=−1sin⁡2x=−csc⁡2x\frac{d}{dx}\cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x

つねに負なので、各区間 nπ<x<(n+1)πn\pi < x < (n+1)\pi で単調に減少します。零点は cos⁡x=0\cos x = 0 となる x=π2+nπx = \dfrac{\pi}{2} + n\pi です。

特徴的な値

xxcot⁡x\cot x
π6\dfrac{\pi}{6}3\sqrt{3}
π4\dfrac{\pi}{4}11
π3\dfrac{\pi}{3}13\dfrac{1}{\sqrt{3}}
π2\dfrac{\pi}{2}00

グラフの形

一つの区間、たとえば 0<x<π0 < x < \pi を見ると、左端の漸近線の近くで +∞+\infty から始まり、x=π2x = \dfrac{\pi}{2} で 00 を横切り、右端の漸近線に向かって −∞-\infty へ下がっていきます。この形が周期 π\pi ごとに平行移動して繰り返され、零点は各区間のちょうど中央に位置します。

正接との対比

項目tan⁡x\tan xcot⁡x\cot x
漸近線π2+nπ\dfrac{\pi}{2} + n\pinπn\pi
零点nπn\piπ2+nπ\dfrac{\pi}{2} + n\pi
各枝での増減単調増加単調減少
導関数sec⁡2x\sec^2 x−csc⁡2x-\csc^2 x

cot⁡x=tan⁡(π2−x)\cot x = \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) で正接と結ばれます。正接のグラフを左右反転して π2\dfrac{\pi}{2} ずらした形とも見られます。

応用

  • 測量や三角測量における角度と長さの関係
  • 複素解析での部分分数展開 πcot⁡πx\pi\cot\pi x
  • 積分計算に現れる csc⁡2x\csc^2 x の原始関数
  1. Trigonometric functions、Wikipedia