絶対値の方程式

絶対値を含む方程式 $|x - 2| = 3$ を、 $y = |x - 2|$ と $y = 3$ のグラフの交点として解きます。

距離として読む

絶対値を距離と読むと、計算をしなくても答えが見えます。 $|x - 2|$ は数直線上での $x$ と $2$ のへだたりです。ですから $|x - 2| = 3$ は、 $2$ から $3$ だけ離れた数はどれかという問いにほかならず、 $2$ の右へ $3$ 進んだ $5$ と、左へ $3$ 進んだ $-1$ が答えになります。よって交点は $(5, 3)$ と $(-1, 3)$ の $2$ つです。絶対値の方程式は、数直線の上でものさしを当てる問題なのです。

場合分けで解く

場合分けで厳密に解くこともできます。

範囲	外した式	解	範囲に合うか
$x \geq 2$	$x - 2 = 3$	$x = 5$	合う
$x < 2$	$-(x - 2) = 3$	$x = -1$	合う

どちらも自分の範囲の条件に合っているので、 $2$ つとも採用されます。

グラフで見る

$y = |x - 2|$ は $y = |x|$ の V 字を右に $2$ だけ平行移動した形で、折れ点は $(2, 0)$ にあります。水平な直線 $y = k$ との交点の個数は、折れ点の高さ $0$ が境目です。

直線	交点の個数
$y = k$ （ $k > 0$ ）	$2$ つ
$y = 0$	$1$ つ（折れ点）
$y = k$ （ $k < 0$ ）	なし

$|x - 2| = -1$ のような方程式に解がないのは、V 字が $x$ 軸より下に降りないからです。

不等式へ

同じ読み方は不等式にも使えます。

不等式	距離としての意味	解
$\|x - 2\| < 3$	$2$ からの距離が $3$ 未満	$-1 < x < 5$
$\|x - 2\| = 3$	距離がちょうど $3$	$x = -1, 5$
$\|x - 2\| > 3$	距離が $3$ より大きい	$x < -1$ または $x > 5$

グラフでいえば、V 字が直線 $y = 3$ より下にある範囲と、上にある範囲にあたります。測定値の許容誤差を $|x - a| \leq d$ と書くのも、この中心 $a$ からのへだたりという読み方によります。グラフの大きな点が、交点 $(5, 3)$ と $(-1, 3)$ です。