x軸に接する円

中心 $(2, 2)$、半径 $2$ の円 $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ を考えます。中心から $x$ 軸までの距離は中心の $y$ 座標 $2$ で、これが半径 $2$ に等しくなっています。

$x$ 軸に接する条件

中心から軸までの距離が半径に等しいとき、円はその軸に接します。よってこの円は $x$ 軸に接し、接点は中心の真下 $(2, 0)$ です。一般に中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円が $x$ 軸に接する条件は $|b| = r$ です。

式でも確かめられます。$x$ 軸は $y = 0$ なので、円の式に代入すると次のようになります。

解は $x = 2$ の重解で、共有点はただ $1$ 点です。距離で見ても方程式で見ても、同じ接するにたどりつきます。

接点が真下にある理由

接点が中心の真下にあるのは、接線が接点における半径と垂直だからです。$x$ 軸に垂直な半径は縦向きですから、中心から真下に $r$ だけ降りた点が接点になります。

$y$ 軸にも接する

同じ議論は $y$ 軸にも使えます。

この円は中心の $x$ 座標も $2$、半径も $2$ なので、じつは $y$ 軸にも接しています。$x = 0$ を代入すると $(y - 2)^2 = 0$ となり、$(0, 2)$ で接することが確かめられます。$2$ 本の座標軸に同時に接する円は、中心が $(\pm r, \pm r)$ の形、つまり直線 $y = x$ または $y = -x$ の上に中心をもつ円です。

角に収まる円

両軸に接するこの円は、第 $1$ 象限にすっぽり収まっています。中心 $(2, 2)$ から半径 $2$ なので $x$ も $y$ も $0$ から $4$ の範囲に収まり、負の側へはみ出さないからです。半径 $r$ で第 $1$ 象限の両軸に接する円は、次の式で書けます。

$r$ を大きくしていくと、中心は直線 $y = x$ の上を原点から遠ざかりながら、円は座標軸のつくる角にぴったり収まったまま大きくなっていきます。角に押し込まれた円という形は、内接円やパイプの詰め込みを考えるときにも現れます。

どんな直線でも同じ

接する条件を、中心と直線の距離が半径に等しいと読めば、座標軸にかぎらずどんな直線にも同じ判定が使えます。距離が半径より小さければ $2$ 点で交わり、大きければ交わりません。大きな点が接点 $(2, 0)$ と中心 $(2, 2)$ です。