判別式と共有点の個数

二次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号で決まります。$D > 0$ なら 2 点、$D = 0$ なら 1 点（接する）、$D < 0$ なら 0 点です。

グラフの 3 つの放物線で比べます。$y = x^2 - 2x - 3$ は $D = 16 > 0$ で、$x = -1, 3$ の 2 点で交わります。$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ は $D = 0$ で、$(1, 0)$ で $x$ 軸に接します。$y = x^2 - 2x + 2$ は $D = -4 < 0$ で、$x$ 軸と交わりません。大きな点が共有点です。