判別式と共有点の個数

二次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号で決まります。

解の公式との関係

共有点の $x$ 座標は $ax^2 + bx + c = 0$ の解で、解の公式は次の形でした。

ルートの中身がまさに $D$ です。$D > 0$ なら $\sqrt{D}$ は正の実数で、$\pm$ の符号によって解が $2$ つに分かれます。$D = 0$ なら $\sqrt{D} = 0$ となり、$\pm$ をつけても差が出ず、解は $x = -\dfrac{b}{2a}$ のただ $1$ つ（重解）です。$D < 0$ なら負の数の平方根は実数にならず、実数解はありません。

$3$ 本の放物線で比べる

グラフの $3$ つの放物線で比べます。

判別式は頂点の高さ

この $3$ 本は、じつは同じ形の放物線を上下にずらしたものです。平方完成すると順に $(x - 1)^2 - 4$、$(x - 1)^2$、$(x - 1)^2 + 1$ となり、頂点はどれも $x = 1$ の上にあって、高さだけが $-4$、$0$、$1$ と変わります。頂点が $x$ 軸より下なら $2$ 点で交わり、$x$ 軸上なら接し、上なら交わりません。判別式が語っているのは、この頂点の高さなのです。実際、頂点の $y$ 座標は次の式で表されます。

この例では順に $-4$、$0$、$1$ となり、ぴったり一致します。$a > 0$ なら $D$ の符号と頂点の高さの符号がちょうど逆になる、という関係です。

直線との共有点にも使える

判別式は $x$ 軸との交点だけの道具ではありません。放物線と任意の直線を連立して整理すれば二次方程式になるので、その $D$ の符号で $2$ 点で交わる・接する・交わらないが同じように決まります。$D = 0$ が接線の条件になるのは、そのためです。$x$ 軸も直線の $1$ つにすぎない、と見ればひと続きの話になります。

グラフの大きな点が共有点です。