点と円の位置関係

点が円の内側・円周上・外側のどこにあるかは、点の座標を円の式に入れてくらべると分かります。中心が原点、半径 55 の円 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 で考えます。

点 (x,y)(x, y) から中心 (0,0)(0, 0) までの距離の 22 乗は x2+y2x^2 + y^2 です。これを半径の 22 乗 2525 とくらべます。

  • x2+y2<25x^2 + y^2 < 25：中心に近い → 円の内側
  • x2+y2=25x^2 + y^2 = 25：距離が半径ちょうど → 円周上
  • x2+y2>25x^2 + y^2 > 25：中心から遠い → 円の外側

3 つの点で確かめます。(1,2)(1, 2) は 12+22=5<251^2 + 2^2 = 5 < 25 なので内側、(4,3)(4, 3) は 42+32=254^2 + 3^2 = 25 なので円周上、(4,4)(4, 4) は 42+42=32>254^2 + 4^2 = 32 > 25 なので外側です。

このように、22 乗の和 x2+y2x^2 + y^2 を 2525 とくらべるだけで、ルートを計算しなくても位置が分かります。グラフの大きな点は、内側の (1,2)(1, 2)、円周上の (4,3)(4, 3)、外側の (4,4)(4, 4) です。