点と円の位置関係

点が円の内側・円周上・外側のどこにあるかは、点の座標を円の式に入れてくらべると分かります。中心が原点、半径 $5$ の円 $x^2 + y^2 = 25$ で考えます。

距離の $2$ 乗でくらべる

点 $(x, y)$ から中心 $(0, 0)$ までの距離の $2$ 乗は $x^2 + y^2$ です。これを半径の $2$ 乗 $25$ とくらべます。

$3$ つの点で確かめます。

なぜ $2$ 乗のまま比べるのか

距離そのものを計算しても、もちろん同じ結論になります。$(1, 2)$ の中心からの距離は $\sqrt{5} \approx 2.24$ で、半径 $5$ より小さいので内側です。ただ、距離はつねに $0$ 以上なので、$2$ 乗したまま比べても大小関係は変わりません。ルートを計算しないぶん速く、平方根の誤差も入らないので、$2$ 乗のまま比べるのが定石です。ゲームなどで円形の当たり判定を書くときも、この形で比較します。

点から円周までの距離

点から円周までの距離も、同じ考え方で出せます。円の外にある点 $(4, 4)$ は中心から $\sqrt{32} \approx 5.66$ の位置にあります。

点と中心を結ぶ直線が、円周を最短の点と最長の点で貫くからです。

中心がずれた円

中心が $(a, b)$、半径が $r$ の円なら、比べるのは $(x - a)^2 + (y - b)^2$ と $r^2$ です。左辺から右辺を引いた値の符号が、そのまま位置を教えてくれます。負なら内側、$0$ なら円周上、正なら外側です。

不等式は領域を表す

この判定は、不等式が領域を表すという見方にもつながります。$x^2 + y^2 < 25$ という不等式が表すのは、円の内部という面です。$1$ つの式が線を表し、不等号にすると面を表すという関係は、直線 $ax + by + c = 0$ と半平面 $ax + by + c > 0$ の関係と同じです。グラフの大きな点は、内側の $(1, 2)$、円周上の $(4, 3)$、外側の $(4, 4)$ です。