sin と cos の交点

$y = \sin x$ と $y = \cos x$ の交点を求めます。

方程式を解く

$\sin x = \cos x$ の両辺を $\cos x$ で割ると $\tan x = 1$ となり、これを満たすのは次のとおりです。

割り算のときの注意

割り算をするときは、割る数が $0$ でないことを確かめなければなりません。もし $\cos x = 0$ なら $\sin x = \pm 1$ で $0$ ではないので、$\sin x = \cos x$ は成り立ちません。つまり $\cos x = 0$ となる $x$ はもともと解ではなく、割っても解を失わないのです。

単位円で見る

$\cos$ は点の横の座標、$\sin$ は縦の座標でした。$\sin x = \cos x$ とは「横と縦が同じ」ということで、それは単位円が直線 $y = x$ と交わる点にほかなりません。

円と直線 $y = x$ の交点は正反対の向きに $2$ つあり、角でいえば $\dfrac{\pi}{4}$ と $\dfrac{5\pi}{4}$ です。$\pi$ ごとに解がくり返すのは、この $2$ 点が原点をはさんで反対側にあるからで、$\tan$ の周期が $2\pi$ ではなく $\pi$ であることと同じ事情です。

値を確かめる

値の大きさは同じで、符号だけが反転しています。

合成による解き方

三角関数の合成を使う方法もあります。差を $1$ つの正弦にまとめます。

これが $0$ になるのは $x - \dfrac{\pi}{4} = n\pi$、すなわち $x = \dfrac{\pi}{4} + n\pi$ で、$\tan$ を使った答えと一致します。$2$ つの波の差もまた $1$ つの波であり、その零点が交点だ、という見方です。

グラフの大きな点がこの $2$ つの交点で、以降は $\pi$ ごとに交わりが繰り返されます。