y=arcsin⁡xy = \arcsin x

逆正弦 y=arcsin⁡xy = \arcsin x

arcsin⁡x\arcsin x（逆正弦、アークサイン）は、正弦関数 sin⁡\sin の逆関数です。sin⁡\sin は周期関数なので全区間では一対一になりません。そこで単調に増加する区間 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] に制限し、その逆関数（主値）を arcsin⁡\arcsin と定めます。

定義

y=arcsin⁡xy = \arcsin x は sin⁡y=x\sin y = x かつ −π2≤y≤π2-\dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2} を満たす yy です。

定義域と値域

定義域は −1≤x≤1-1 \le x \le 1、すなわち [−1,1][-1, 1] です。sin⁡\sin の値が −1-1 から 11 までしか取らないためです。値域は [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] です。

対称性と増減

arcsin⁡\arcsin は奇関数で arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x\arcsin(-x) = -\arcsin x が成り立ち、グラフは原点対称です。導関数は

ddxarcsin⁡x=11−x2(−1<x<1)\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)

で常に正なので、定義域全体で単調に増加します。

特徴的な点と接線

グラフは 3 点 (−1,−π2)\left(-1, -\dfrac{\pi}{2}\right)、(0,0)(0, 0)、(1,π2)\left(1, \dfrac{\pi}{2}\right) を通ります。両端 x=±1x = \pm 1 では導関数の分母が 00 に近づくため傾きが無限大となり、接線は垂直になります。原点付近では arcsin⁡x≈x\arcsin x \approx x です。

他の関数との関係

逆余弦との間に重要な関係

arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

が成り立ちます。つまり両者を足すと常に直角になります。

具体値

例えば arcsin⁡12=π6\arcsin \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}、arcsin⁡22=π4\arcsin \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\pi}{4}、arcsin⁡1=π2\arcsin 1 = \dfrac{\pi}{2} です。

応用

角度を求める逆問題、単振動や波動の位相計算、三角形の解法、積分 ∫dx1−x2\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} の計算など幅広く用いられます。