平行四辺形の第4頂点

$3$ 点 $A(0, 0)$、$B(3, 0)$、$C(4, 2)$ を頂点とする平行四辺形 $ABCD$ の第 $4$ 頂点 $D$ を求めます¹。

対角線から求める

平行四辺形では $2$ 本の対角線 $AC$ と $BD$ が互いの中点で交わります。$AC$ の中点は $(2, 1)$ です。$D(x, y)$ とすると $BD$ の中点 $\left( \dfrac{3 + x}{2}, \dfrac{y}{2} \right)$ がこれに等しいので、$x = 1$、$y = 2$、すなわち $D(1, 2)$ です。

辺の平行から求める

「向かい合う辺が平行で長さが等しい」という性質から直接求めることもできます。$A$ から $B$ への移動が $(3, 0)$ なら、$D$ から $C$ への移動も同じでなければなりません。

対角線を使っても、辺の平行を使っても、同じ点にたどりつきます。

平行を確かめる

$4$ 辺がきちんと $2$ 組の平行な辺になっています。

第 $4$ 頂点は $3$ 通りある

注意したいのは、$3$ 点から平行四辺形を作る方法は $1$ 通りではないことです。どの $2$ 点を対角線の両端にするかで、第 $4$ 頂点は $3$ 通りありえます。

頂点を $A \to B \to C \to D$ の順に並べる、という約束が $D$ を $1$ つに決めているのです。

面積

辺 $AB$ の方向 $(3, 0)$ と辺 $AD$ の方向 $(1, 2)$ が張る平行四辺形の面積は、次のように求まります。

三角形 $ABC$ の面積 $3$ のちょうど $2$ 倍になっているのも道理で、対角線 $AC$ が平行四辺形を合同な $2$ つの三角形に分けているからです。

大きな点が $4$ 頂点で、$AB$ と $DC$、$AD$ と $BC$ がそれぞれ平行です。

1. Parallelogram、Wikipedia