分数関数 $y = 1/x^2$ のグラフ

$y = \dfrac{1}{x^2}$ は $x^{-2}$ とも書ける分数関数です。分母が $2$ 乗なので値はつねに正で、$y$ 軸の両側に $2$ 本の曲線が立ち上がった形になります。

定義域と値域

$x = 0$ では分母が $0$ になるため定義されません。定義域は $x \neq 0$ です。$x^2 > 0$ より値はつねに正なので、値域は $y > 0$ です。$\dfrac{1}{x}$ と違い、負の値は決してとりません。

対称性

$(-x)^2 = x^2$ なので $f(-x) = f(x)$ となり、$y$ 軸に関して線対称な偶関数です。グラフは第 $1$ 象限と第 $2$ 象限にあり、$y$ 軸をはさんで左右対称な $2$ 本の曲線になります。

漸近線と極限

$x \to 0$ のとき、左右どちらから近づいても $y \to +\infty$ に発散します。$y$ 軸が垂直漸近線です。$x \to \pm\infty$ では $y \to 0$ となるので、$x$ 軸が水平漸近線です。値はつねに正なので、曲線は上側から $x$ 軸に近づきます。

増減

導関数は次のようになります。

$x < 0$ では $x^3 < 0$ なので $y' > 0$ となって増加し、$x > 0$ では $y' < 0$ となって減少します。極大も極小もなく、原点に向かって両側から限りなく高くなっていきます。

減り方

$x$ が $2$ 倍になると値は $\dfrac{1}{4}$ に、$3$ 倍になると $\dfrac{1}{9}$ になります。$\dfrac{1}{x}$ よりも減衰がずっと速いのが特徴です。

特徴的な点

$(\pm 1, 1)$、$\left( \pm 2, \dfrac{1}{4} \right)$、$\left( \pm \dfrac{1}{2}, 4 \right)$ を通ります。$|x| = 1$ が境目で、その内側では値が $1$ より大きく、外側では $1$ より小さくなります。

裾の面積

$x \geq 1$ の範囲で曲線の下の面積を比べると、裾の減り方のわずかな違いが結果を分けます。

どちらも $0$ へ近づいていくのに、積み上げた面積は片方が有限、片方が無限になります。$\dfrac{1}{x^p}$ の形では $p > 1$ で収束、$p \leq 1$ で発散するという境目が、ちょうど $\dfrac{1}{x}$ にあります。

応用

逆二乗の法則として自然界に広く現れます。

• 万有引力とクーロン力は距離の $2$ 乗に反比例する
• 点光源の明るさも距離の $2$ 乗に反比例して弱まる
• 距離が $2$ 倍になれば強さは $\dfrac{1}{4}$

これは、力や光が球面上に均等に広がり、その球の表面積が半径の $2$ 乗に比例することから導かれます。