三直線で囲まれた三角形

$3$ 本の直線 $y = x$ 、 $y = -x + 4$ 、 $y = 0$ で囲まれた三角形を求めます。

頂点を求める

頂点は直線を $2$ 本ずつ連立して得られます。 $3$ 本の直線から $2$ 本の選び方は $3$ 通りあり、それがそのまま $3$ つの頂点になります。

連立する $2$ 直線	頂点
$y = x$ と $y = 0$	$(0, 0)$
$y = -x + 4$ と $y = 0$	$(4, 0)$
$y = x$ と $y = -x + 4$	$(2, 2)$

面積

底辺を $x$ 軸上にとると長さは $4$ 、高さは頂点 $(2, 2)$ の $y$ 座標 $2$ なので、面積は $\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ です。座標から面積を出す公式でも確かめられます。

\frac{1}{2}|0(0 - 2) + 4(2 - 0) + 2(0 - 0)| = \frac{1}{2} \times 8 = 4

直角二等辺三角形であること

この三角形は、ただの三角形ではありません。 $y = x$ の傾きは $1$ 、 $y = -x + 4$ の傾きは $-1$ で、積が $-1$ になります。つまり $2$ 直線は直角に交わり、頂点 $(2, 2)$ が直角の角です。

しかも $(0, 0)$ から $(2, 2)$ までと、 $(4, 0)$ から $(2, 2)$ までの長さはどちらも $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ なので、これは直角二等辺三角形です。面積を $\dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 4$ と計算しても、やはり同じ値になります。

三角形ができない場合

$3$ 本の直線がいつでも三角形を作るとはかぎりません。

どの $2$ 本も平行でないこと
$3$ 本が $1$ 点で交わらないこと

この二つがそろったときだけ三角形ができます。もし $2$ 本が平行なら、その $2$ 本からは頂点が得られません。また $3$ 本が $1$ 点を共有すると、 $3$ つの頂点がすべて同じ点に重なってしまい、三角形はつぶれます。

たとえば $y = 0$ を $y = 2$ に取りかえると、 $3$ 本はどれも $(2, 2)$ を通ってしまい、囲まれる部分がなくなります。グラフの大きな点がこの $3$ 頂点です。