円と放物線の交点

円 $x^2 + y^2 = 2$ と放物線 $y = x^2$ の交点を求めます。

消しやすい文字から消す

連立方程式を解くときは、消しやすい文字から消します。放物線の式 $y = x^2$ をそのまま円に代入すると $x^2$ が $y$ に置きかわるので、$x$ を消して $y$ だけの方程式にできます。

これより $y = -2$ または $y = 1$ です。

意味をもたない解を落とす

ここで注意が必要です。$y = x^2$ は $2$ 乗なのでつねに $0$ 以上であり、$y = -2$ になることはありません。これは代入の途中で現れた、意味をもたない解です。式のうえでの解が、そのまま図形の交点になるとはかぎらないので、必ず元の条件に戻して確かめます。採用できるのは $y = 1$ だけです。

$y = 1$ を $y = x^2$ に戻すと $x^2 = 1$、つまり $x = \pm 1$ となり、交点は $(1, 1)$ と $(-1, 1)$ の $2$ つです。念のため円の式に入れると $1^2 + 1^2 = 2$ となり、確かに円の上にあります。円も放物線も $y$ 軸に関して対称なので、交点も $y$ 軸をはさんで左右対称に現れます。

$y$ を消す道

逆に $y$ を消すこともできます。円に $y = x^2$ を代入すると、次の $4$ 次方程式になります。

$x^2$ をひとかたまりと見れば $(x^2 + 2)(x^2 - 1) = 0$ と因数分解でき、$x^2 = -2$ は実数解をもたないので $x^2 = 1$、つまり $x = \pm 1$ です。

同じ答えにたどりつきますが、次数が上がるぶん手間がかかります。どちらの文字を消すかで計算量が変わる、というのはよくあることです。

半径を変えると

円の半径を変えても、原点を中心とするかぎり交点は必ず $2$ つです。半径 $r$ の円で同じ計算をすると $y^2 + y - r^2 = 0$ となり、$y > 0$ の解がちょうど $1$ つ出ます。その $y$ に対して $x = \pm\sqrt{y}$ の $2$ 点が対応するからです。放物線は原点（円の内側）から出発して無限に伸びるので、どんな大きさの円からも必ず $2$ 回だけ外へ出ていく、と考えれば納得できます。

中心をずらすと

ただし円の中心を $y$ 軸上にずらすと、交点は最大で $4$ つまで増えます。$2$ 次曲線どうしの交点は、一般には $4$ 次方程式の解にあたるからです。放物線が円の内側と外側を出入りする回数が増える、と見ることもできます。

グラフの大きな点が交点 $(1, 1)$ と $(-1, 1)$ で、円は上半分 $y = \sqrt{2 - x^2}$ と下半分 $y = -\sqrt{2 - x^2}$ に分けて描いています。