二直線の交点

$2$ 本の直線の交点とは、どちらの直線の上にものっている点のことです。その点では、片方の式で計算した $y$ と、もう片方の式で計算した $y$ がぴったり同じになります。ですから交点をさがすときは、この $2$ つの $y$ を等しいとおいて $1$ つの方程式にまとめます。連立方程式を解く、というのはこの操作のことです。

交点を求める

$2$ つの直線 $y = 2x - 1$ と $y = -x + 5$ の交点を求めます。交点では $2$ つの $y$ が等しいので、次の方程式が成り立ちます。

2x - 1 = -x + 5

整理すると $3x = 6$ 、すなわち $x = 2$ です。どちらかの式に戻すと $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ となり、交点は $(2, 3)$ です。

求めた $(2, 3)$ を、もう一方の式でも確かめておきましょう。 $-2 + 5 = 3$ となり、確かに両方の直線の上にあります。交点は $2$ つの式を同時に満たす点なので、この検算がそのまま答えの確認になります。

交点の個数

大事なのは、交点の個数が、方程式の解の個数と同じになるということです。 $y = a_1 x + b_1$ と $y = a_2 x + b_2$ の交点をさがすと、次の $1$ 次方程式にたどりつきます。

(a_1 - a_2)x = b_2 - b_1

この方程式が解けるかどうかで、交わり方が決まります。

傾きと切片	方程式	交わり方
$a_1 \neq a_2$	$x$ がただ $1$ つに決まる	$1$ 点で交わる
$a_1 = a_2$ 、 $b_1 \neq b_2$	左辺は $0$ 、右辺は $0$ でない	平行で交わらない
$a_1 = a_2$ 、 $b_1 = b_2$	どんな $x$ でも成り立つ	重なり、共有点は無数

つまり、傾きさえ違えば $2$ 直線は必ずどこか $1$ 点で交わります。平行でない $2$ 直線が交わらないということは起こりません。この例では傾きが $2$ と $-1$ で違うので、交点はちょうど $1$ つです。

一般形での判定

直線が $y = \cdots$ の形で与えられず、 $ax + by = c$ の形で並んでいることもあります。

\begin{align*} a_1 x + b_1 y &= c_1 \\ a_2 x + b_2 y &= c_2 \end{align*}

この連立方程式は $a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ のときにただ $1$ 組の解をもち、 $2$ 直線は $1$ 点で交わります。この値を係数の行列式といいます。 $y = \cdots$ の形に直せない縦の直線（ $x = c$ ）も、この形なら同じ土俵で扱えるところが利点です。

加減法

$2x - y = 1$ 、 $x + y = 5$ のように一般形で与えられたときは、 $2$ 式を足したり引いたりして文字を消す加減法が便利です。この $2$ 式を足すと $y$ が消えて $3x = 6$ となり、やはり $x = 2$ が出ます。 $y$ について解いてから等しいとおいても、一般形のまま加減法で消しても、たどりつく交点は同じです。

応用

需要と供給の直線が交わる点は、市場の均衡点
$2$ つの料金プランの費用が交わる点は、得か損かが入れかわる分岐点
連立 $1$ 次方程式を解くことは、そのまま交点をさがすこと

グラフ上の大きな点が、この例の交点 $(2, 3)$ です。