無理関数 $y = \sqrt[3]{x}$ のグラフ

$y = \sqrt[3]{x}$ は、$3$ 乗すると $x$ になる数を表します¹。指数を使って $x^{1/3}$ とも書けます。$3$ 乗は負の数を負のまま返すので、$\sqrt[3]{-8} = -2$ のように、負の $x$ に対しても実数の値が定まります。

定義域と値域

• 定義域はすべての実数
• 値域もすべての実数
• 単調に増加する
• 奇関数

$x^3$ が実数全体から実数全体への一対一の対応であることの裏返しで、その逆関数である $3$ 乗根はどんな実数に対してもただ一つの実数を返します。平方根 $\sqrt{x}$ が $x \geq 0$ でしか定義できないのとは対照的です。

対称性

$\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$ が成り立つので、原点に関して点対称な奇関数です。グラフは第 $1$ 象限と第 $3$ 象限に広がります。

増減と原点

導関数は $y' = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ で、$x \neq 0$ ではつねに正です。したがって全区間で単調に増加します。$x \to 0$ では $y' \to +\infty$ となり、原点で接線が $y$ 軸に重なって垂直に立ちます。原点では微分できません。

原点は変曲点です。垂直な接線をはさんで曲がり方が入れ替わる、S 字のような形になります。

特徴的な値

$x$ が $8$ 倍になって $y$ はようやく $2$ 倍で、$1000$ 倍になっても $10$ 倍にしかなりません。原点付近では急に立ち上がるのに、遠方ではきわめてゆるやかです。

他の関数との関係

$y = x^3$ の逆関数であり、$2$ つのグラフは直線 $y = x$ に関して線対称です。$3$ 乗根を $2$ 乗した $x^{2/3} = \left(\sqrt[3]{x}\right)^2$ は偶関数になり、原点に尖点をもつ別の形になります。

応用

• 体積が $V$ の立方体の一辺は $\sqrt[3]{V}$
• 相似な立体で体積から長さを求める計算
• 体重から体長を見積もる生物のスケーリング則
• 三次方程式の解の公式（カルダノの公式）

$3$ 次元の量から $1$ 次元の量を取り出す場面で現れます。

1. Cube root、Wikipedia