y = \sqrt[4]{x}

無理関数 $y = \sqrt[4]{x}$ のグラフ

$y = \sqrt[4]{x}$ は $4$ 乗すると $x$ になる $0$ 以上の数を表し、 $x^{1/4}$ とも書けます¹。 $\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}$ のように平方根を二回とった形と見ることもできます。

定義域と値域

$4$ は偶数なので負の数の $4$ 乗根は実数になりません。底の大小がそのまま値の大小に反映されるため単調に増加しますが、増え方はだんだんゆるやかになります。

導関数は $y' = \dfrac{1}{4}x^{-3/4}$ で、 $x \to 0^{+}$ で $+\infty$ に発散します。つまり原点では接線が垂直に立ち上がり、そこから右へ寝ていきます。二階導関数は負なので、グラフは上に凸です。

上に凸であることは「入力を増やしても得られる増分がだんだん小さくなる」ことを意味します。 $x$ を $16$ から $81$ へ大きく増やしても $y$ は $2$ から $3$ へ $1$ しか増えません。

$x$ が $16$ 倍になるごとに $y$ が $2$ 倍になります。

指数を $\dfrac{1}{2}$ 、 $\dfrac{1}{3}$ 、 $\dfrac{1}{4}$ と小さくするほど、原点での立ち上がりは鋭く、遠方では曲線がいっそう寝ていきます。

$[0, \infty)$ から $[0, \infty)$ への一対一の対応なので逆関数をもち、それが $y = x^4$ （ $x \geq 0$ ）です。直線 $y = x$ に関して $y = x^4$ を折り返した形になります。