無理関数 $y = \sqrt[4]{x}$ のグラフ

$y = \sqrt[4]{x}$ は $4$ 乗すると $x$ になる $0$ 以上の数を表し、$x^{1/4}$ とも書けます。根号を含むため無理関数と呼ばれ、$\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}$ のように平方根を二回とった形と見ることもできます。

$4$ は偶数なので負の数の $4$ 乗根は実数になりません。したがって定義域は $x \geq 0$、値域は $y \geq 0$ です。底の大小がそのまま値の大小に反映されるため単調に増加しますが、増え方はだんだんゆるやかになります。

導関数は $y' = \dfrac{1}{4}x^{-3/4}$ で、$x \to 0^{+}$ で $+\infty$ に発散します。つまり原点では接線が垂直に立ち上がり、そこから右へ寝ていきます。二次導関数は負なので、グラフは上に凸（上に張り出す形）です。

$[0, \infty)$ から $[0, \infty)$ への一対一の対応なので逆関数をもち、それが $y = x^4$（$x \geq 0$）です。上に凸であることは「入力を増やしても得られる増分がだんだん小さくなる」ことを意味し、たとえば $x$ を $16$ から $81$ へ大きく増やしても $y$ は $2$ から $3$ へ $1$ しか増えません。指数を $\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{1}{3}$、$\dfrac{1}{4}$ と小さくするほど、原点での立ち上がりは鋭く、遠方では曲線がいっそう寝ていきます。

同じ無理関数の $\sqrt{x}$ と比べると、$x > 1$ では $\sqrt[4]{x} < \sqrt{x}$ となりいっそう寝た曲線に、$0 < x < 1$ では $\sqrt[4]{x} > \sqrt{x}$ となり $1$ に近い側を通ります。両者は $x = 0$ と $x = 1$ で一致します。

具体的な値は次のとおりで、$x$ が $16$ 倍になるごとに $y$ が $2$ 倍になります。

• $x = 1$ で $y = 1$
• $x = 16$ で $y = 2$
• $x = 81$ で $y = 3$
• $x = \dfrac{1}{16}$ で $y = \dfrac{1}{2}$

$y = x^4$（$x \geq 0$）の逆関数にあたり、直線 $y = x$ に関して $y = x^4$ を折り返した形です。べき関数 $x^{1/n}$ の仲間でもあります。応用としては、黒体放射のシュテファン・ボルツマンの法則で温度が放射エネルギーの $4$ 乗根に比例することや、統計で分布のばらつきをならすための $4$ 乗根変換などに現れます。