三角形の重心

$3$ 点 $A(0, 0)$ 、 $B(4, 0)$ 、 $C(2, 3)$ を頂点とする三角形の重心を求めます¹。重心は各頂点の座標の平均です。

G = \left( \frac{0 + 4 + 2}{3}, \ \frac{0 + 0 + 3}{3} \right) = (2, 1)

$x$ 座標は $x$ 座標どうし、 $y$ 座標は $y$ 座標どうしを平均するだけで求まります。

なぜ平均でよいのか

重心は $3$ 本の中線、すなわち頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ線分の交点です。辺 $BC$ の中点は $M\left(3, \dfrac{3}{2}\right)$ で、中線 $AM$ を $A$ から $2 : 1$ に内分する点は、 $A$ から $M$ へ向かって全体の $\dfrac{2}{3}$ だけ進んだ位置になります。

\left(\frac{2}{3} \times 3, \ \frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\right) = (2, 1)

確かに $G$ と一致します。

別の中線でも同じ

中線	向かい合う辺の中点	$\dfrac{2}{3}$ 進んだ点
$A$ から	$M\left(3, \dfrac{3}{2}\right)$	$(2, 1)$
$B$ から	$N\left(1, \dfrac{3}{2}\right)$	$(2, 1)$
$C$ から	$L(2, 0)$	$(2, 1)$

$3$ 本の中線が $1$ 点で交わること、そしてその点が各中線を頂点から $2 : 1$ に内分することが、重心の定理です。

物理的な意味

三角形の板を厚さの一様な材料で作れば、この点で支えたときにちょうど釣り合います。 $3$ つの頂点に同じ重さのおもりを置いたときの釣り合いの点、と考えても同じ場所になり、それがまさに座標の平均です。データの平均が分布の「重心」と呼ばれるのも、この考え方の延長にあります。

つねに内側にある

重心は必ず三角形の内部にあります。頂点の平均だからで、外にはみ出しようがありません。

点	三角形の外に出るか
重心	出ない
内心	出ない
外心	鈍角三角形では出る
垂心	鈍角三角形では出る

グラフでは $3$ つの頂点と、その内側にある大きな点 $(2, 1)$ が重心を表します。

Centroid、Wikipedia