点と直線の距離

点と直線の距離とは、その点から直線へまっすぐ（垂直）に下ろしたときの最短のへだたりです。ここでは原点 $O(0, 0)$ から直線 $3x + 4y - 25 = 0$ までの距離を求めます。

一般に、点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離は次の式で計算できます。

この直線は $a = 3$、$b = 4$、$c = -25$ です。点 $(0, 0)$ を代入すると、分子は $|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 25| = 25$、分母は $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ なので、距離は $d = \dfrac{25}{5} = 5$ です。

このとき、$O$ から直線へ下ろした垂線は直線 $y = \dfrac{4}{3}x$ で、直線との交点（垂線の足）は $(3, 4)$ です。原点から $(3, 4)$ までの長さは $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ となり、公式で求めた距離と一致します。

なお、既存の「円と直線の交点」で使った「中心から直線までの距離と半径をくらべる」判定は、まさにこの公式によるものです。中心 $(0, 0)$・半径 $5$ の円 $x^2 + y^2 = 25$ とこの直線は、距離がちょうど $5$ で半径に等しいので接します。グラフの大きな点は、点 $O(0, 0)$ と垂線の足 $(3, 4)$ で、この $2$ 点を結ぶ線分の長さが求める距離です。