点と直線の距離

点と直線の距離とは、その点から直線へまっすぐ（垂直）に下ろしたときの最短のへだたりです。直線上の点を好きに選んで結べば線分はいくらでも引けますが、垂線が最も短くなります。斜めに結んだ線分は、垂線を $1$ 辺とする直角三角形の斜辺にあたり、斜辺は他のどの辺よりも長いからです。ここでは原点 $O(0, 0)$ から直線 $3x + 4y - 25 = 0$ までの距離を求めます。

公式

一般に、点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離は次の式で計算できます。

d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

この直線は $a = 3$ 、 $b = 4$ 、 $c = -25$ です。点 $(0, 0)$ を代入すると、分子は $|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 25| = 25$ 、分母は $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ なので、距離は $d = \dfrac{25}{5} = 5$ です。

公式の読み方

分子は、直線の式の左辺に点の座標をそのまま代入した値の絶対値です。点が直線の上にあれば左辺は $0$ になり、距離も $0$ になります。分母の $\sqrt{a^2 + b^2}$ は、直線に垂直な向きを表すベクトル $(a, b)$ の長さで、これで割ることによって式の値が実際の長さに直ります。

公式の導出

直線に垂直なベクトルを $\vec{n} = (a, b)$ とし、直線上の点を $Q(x_1, y_1)$ とします。 $Q$ は直線の上にあるので $a x_1 + b y_1 + c = 0$ です。求める距離は、 $Q$ から点 $P(x_0, y_0)$ へ向かうベクトルを $\vec{n}$ の向きへ射影した長さにあたります。

\begin{align*} d &= \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{QP}|}{|\vec{n}|} \\ &= \frac{|a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\ &= \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{align*}

最後の変形では $-a x_1 - b y_1 = c$ を使いました。 $Q$ をどこにとっても同じ式になるので、直線上のどの点から測っても結果は変わりません。

垂線の足

$O$ から直線へ下ろした垂線は $y = \dfrac{4}{3}x$ で、直線との交点（垂線の足）は $(3, 4)$ です。実際、 $y = \dfrac{4}{3}x$ を $3x + 4y - 25 = 0$ に代入すると $\dfrac{25}{3}x = 25$ となり、 $x = 3$ 、 $y = 4$ が得られます。原点から $(3, 4)$ までの長さは $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ で、公式で求めた距離と一致します。

平行な $2$ 直線の距離

平行な $2$ 直線のへだたりも、この公式で測れます。 $ax + by + c_1 = 0$ と $ax + by + c_2 = 0$ は $x$ と $y$ の係数がそろっているので平行です。片方の上の点をとってもう片方までの距離を求めると、次の式になります。

d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

平行なのでこの値はどこで測っても同じで、それが $2$ 直線の間隔です。

円との関係

円と直線の交わり方を、中心から直線までの距離と半径をくらべて判定するのも、この公式によるものです。中心 $(0, 0)$ ・半径 $5$ の円 $x^2 + y^2 = 25$ とこの直線は、距離がちょうど $5$ で半径に等しいので接します。

距離と半径	交わり方
$d < r$	$2$ 点で交わる
$d = r$	$1$ 点で接する
$d > r$	交わらない

符号の意味

絶対値を外した $a x_0 + b y_0 + c$ の符号は、点が直線のどちら側にあるかを教えてくれます。 $2$ 点を代入した値の符号が違えば、その $2$ 点は直線をはさんで反対側にあり、結んだ線分は直線と交わります。この符号で $2$ つの側を見分ける考え方は、機械学習でデータを直線（超平面）で分ける手法の土台にもなっています。

グラフの大きな点は、点 $O(0, 0)$ と垂線の足 $(3, 4)$ で、この $2$ 点を結ぶ線分の長さが求める距離です。