絶対値の和のグラフ

$y = |x + 1| + |x - 1|$ のグラフを考えます。これは数直線上の点 $x$ から $-1$ と $1$ までの距離の和です。

場合分けで書く

折れ点の候補は、絶対値の中身が $0$ になる $x = -1$ と $x = 1$ です。

折れ曲がる点は $(-1, 2)$ と $(1, 2)$ で、そのあいだの底が最小値 $2$ です。

最小値が $2$ になる理由

距離の意味からすぐ分かります。$-1$ と $1$ のあいだに立てば、$2$ 点までの距離の和はちょうど $2$ 点のへだたり $2$ に等しくなります。外に出れば、その分だけ余計に歩くことになるので、和は必ず $2$ より大きくなります。式でいえば三角不等式です。

等号が成り立つのが $-1 \leq x \leq 1$ のときです。

最小値をとる点が区間になる

おもしろいのは、最小値をとる点が $1$ 点ではなく区間全体だということです。$-1$ から $1$ までのどこに立っても、距離の和は $2$ のまま変わりません。この平らな底が、絶対値の和という関数の特徴です。

解の個数

$|x + 1| + |x - 1| = k$ の解も、この形から読み取れます。

水平線を上げ下げすると、解の姿がこのように変わります。

中央値との関係

距離の和を最小にする点、という問題は応用でもよく現れます。数直線上の何点かからの距離の和を最小にするのは、それらの中央値にあたる位置です。点が偶数個なら、真ん中の $2$ 点にはさまれた区間のどこでもかまいません。

統計で中央値が外れ値に強いとされる理由が、この平らな底に現れています。大きな点が折れ点と中央 $(0, 2)$ です。