双曲線余弦関数 $y = \cosh x$ のグラフ

双曲線余弦関数 $y = \cosh x$ は、指数関数を用いて次のように定義されます。

「ハイパボリックコサイン」と読み、三角関数の余弦 $\cos x$ に対応する双曲線関数です。

定義域と値域

指数関数の和で定義されるため、すべての実数 $x$ に対して値を持ち、定義域は実数全体 $(-\infty, \infty)$ です。相加相乗平均の関係から $\dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \geq \sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 1$ が成り立つため、値域は $[1, \infty)$ となります。つまり $\cosh x$ はつねに $1$ 以上の値をとります。

対称性

$\cosh(-x) = \dfrac{e^{-x} + e^{x}}{2} = \cosh x$ が成り立つため、$\cosh x$ は偶関数です。グラフは $y$ 軸に関して線対称になります。

増減と最小点

導関数は $\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ です。$\sinh x$ は $x < 0$ で負、$x > 0$ で正となるため、$\cosh x$ は $x < 0$ で減少し、$x > 0$ で増加します。したがって $x = 0$ で最小値をとり、最小点は $(0, 1)$ です。

漸近的なふるまいと極限

$x$ が大きくなると $e^{-x}$ の項が無視でき $\cosh x \approx \dfrac{e^x}{2}$、$x \to -\infty$ では $\cosh x \approx \dfrac{e^{-x}}{2}$ となります。すなわち両側で $\dfrac{e^{|x|}}{2}$ に従って指数関数的に急増し、$\pm\infty$ に発散します。水平な漸近線は持ちません。

特徴的な点

最下点 $(0, 1)$ を通り、$\cosh 0 = 1$ です。グラフ全体は下に凸で、U 字を引き伸ばしたようななめらかな谷型を描きます。

他の関数との関係

双曲線正弦 $\sinh x$ との間に恒等式 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ が成り立ち、点 $(\cosh t, \sinh t)$ は双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の右半分の上にあります。また $\cosh x + \sinh x = e^x$、$\cosh x - \sinh x = e^{-x}$ という関係もあります。

応用

$\cosh x$ の最も有名な応用は懸垂線（カテナリー）です。両端を固定した鎖や電線が自重で垂れ下がるとき、その曲線はまさに $y = a\cosh\dfrac{x}{a}$ の形になります。放物線によく似ていますが、数学的には別物です。このほか、建築のアーチや送電線の設計などにも応用されています。