y = \cosh x

双曲線余弦関数 $y = \cosh x$ のグラフ

双曲線余弦関数 $y = \cosh x$ は、指数関数を用いて次のように定義されます¹。

\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

「ハイパボリックコサイン」と読み、三角関数の余弦 $\cos x$ に対応する双曲線関数です。

定義域と値域

相加平均と相乗平均の関係から、値がつねに $1$ 以上になることが分かります。

\frac{e^x + e^{-x}}{2} \geq \sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 1

等号が成り立つのは $e^x = e^{-x}$ 、すなわち $x = 0$ のときだけです。

$\cosh(-x) = \dfrac{e^{-x} + e^{x}}{2} = \cosh x$ が成り立つため偶関数で、グラフは $y$ 軸に関して線対称です。

導関数は $\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ です。 $\sinh x$ は $x < 0$ で負、 $x > 0$ で正となるため、 $\cosh x$ は $x < 0$ で減少し $x > 0$ で増加します。したがって最小点は $(0, 1)$ です。

二階導関数は $\cosh x$ 自身でつねに正ですから、グラフ全体が下に凸で、変曲点はありません。U 字を引き伸ばしたようななめらかな谷型を描きます。

両側で $\dfrac{e^{|x|}}{2}$ に従って指数関数的に増大し、水平な漸近線はもちません。テイラー展開は偶数次の項だけからなります。

\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots

\begin{align*} \cosh x + \sinh x &= e^x \\ \cosh x - \sinh x &= e^{-x} \end{align*}

また恒等式 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ が成り立ち、点 $(\cosh t, \sinh t)$ は双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の右半分の上にあります。

最も有名な応用は懸垂線（カテナリー）です²。両端を固定した鎖や電線が自重で垂れ下がるとき、その曲線は次の形になります。

y = a\cosh\frac{x}{a}

放物線によく似ていますが、数学的には別物です。展開の第 $3$ 項から差が出るので、原点から離れるほど食い違いが大きくなります。