アニェージの曲線 $y = \dfrac{1}{1+x^2}$

$y = \dfrac{1}{1+x^2}$ は「アニェージの曲線（ウィッチ・オブ・アニェージ）」と呼ばれる有理関数で、ガウス関数によく似た釣鐘形をしています。分母が多項式である分だけ、指数関数を使うガウス関数よりも裾（すそ）の減り方がゆるやかなのが特徴です。

定義域と値域 分母 $1 + x^2$ はつねに $1$ 以上で決してゼロにならないため、すべての実数 $x$ で定義されます。$0 < \dfrac{1}{1+x^2} \le 1$ なので値域は $(0, 1]$ です。

対称性 $f(-x) = \dfrac{1}{1+(-x)^2} = f(x)$ より偶関数で、グラフは $y$ 軸に関して対称です。

増減と極値 導関数は $f'(x) = \dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}$ です。$x < 0$ で正、$x > 0$ で負なので、頂点 $(0, 1)$ で最大値をとり、その前後で増加から減少へ転じます。

漸近線と極限 $x \to \pm\infty$ で分母が限りなく大きくなり $y \to 0$ となるため、$x$ 軸が水平漸近線です。ただし減衰は $1/x^2$ 程度とゆるやかで、たとえば $x = 3$ でも $y = 0.1$ です。

変曲点 二階導関数は $f''(x) = \dfrac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$ で、$x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx \pm 0.577$ で符号が変わります。そこでの値は $y = \dfrac{3}{4}$ で、曲線が上に凸から下に凸へ切り替わる肩の位置です。

他の関数との関係 この関数は逆正接関数の導関数、すなわち $\dfrac{d}{dx}\arctan x = \dfrac{1}{1+x^2}$ です。全区間の積分は $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dx}{1+x^2} = \pi$ となり、これを $\pi$ で割った $\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$ はコーシー分布の確率密度関数になります。

応用と歴史 曲線の名は、18 世紀イタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージ（1718–1799）に由来します。彼女の 1748 年の教科書で扱われた際、イタリア語の「versiera（回転する曲線）」が「avversiera（魔女）」と取り違えられ、英語で「魔女（witch）」と誤訳されたという逸話が有名です。今日では確率論のコーシー分布や、共鳴現象を表すローレンツ関数として応用されています。