y = \dfrac{1}{1+x^2}

アニェージの曲線 $y = \dfrac{1}{1+x^2}$

$y = \dfrac{1}{1 + x^2}$ はアニェージの曲線（ウィッチ・オブ・アニェージ）と呼ばれる有理関数で、ガウス関数によく似た釣鐘形をしています。分母が多項式であるぶん、指数関数を使うガウス関数よりも裾の減り方がゆるやかなのが特徴です。

定義域と値域

分母 $1 + x^2$ はつねに $1$ 以上で、決して $0$ になりません。したがってすべての実数 $x$ で定義されます。

定義域はすべての実数
値域は $(0, 1]$
最大値は $x = 0$ での $1$
水平漸近線は $x$ 軸

対称性

$f(-x) = f(x)$ より偶関数で、グラフは $y$ 軸に関して対称です。

増減と極値

導関数は次のようになります。

f'(x) = \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}

分母はつねに正なので符号は分子の $-2x$ だけで決まり、 $x < 0$ で正、 $x > 0$ で負です。頂点 $(0, 1)$ で最大値をとり、その前後で増加から減少へ転じます。

変曲点

二階導関数は次のようになります。

f''(x) = \frac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3}

$x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx \pm 0.577$ で符号が変わります。そこでの値は $y = \dfrac{3}{4}$ で、曲線が上に凸から下に凸へ切り替わる肩の位置です。

ガウス関数との比較

$x \to \pm\infty$ で分母が限りなく大きくなり $y \to 0$ となるため、 $x$ 軸が水平漸近線です。ただし減衰は $\dfrac{1}{x^2}$ 程度とゆるやかで、ガウス関数とは裾の重さがまるで違います。

$x$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$	$e^{-x^2}$
$1$	$0.5$	$0.3679$
$2$	$0.2$	$0.0183$
$3$	$0.1$	$0.0001234$

逆正接関数との関係

この関数は逆正接関数の導関数です。

\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

したがって全区間の積分は $\arctan x$ の値域の幅にあたります。

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \pi

これを $\pi$ で割った $\dfrac{1}{\pi(1 + x^2)}$ はコーシー分布の確率密度関数です。裾が重いため、コーシー分布は平均も分散ももちません。

名前の由来

曲線の名は、 $18$ 世紀イタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージ（ $1718$ – $1799$ ）に由来します。 $1748$ 年の教科書で扱われた際、イタリア語の versiera（回転する曲線）が avversiera（魔女）と取り違えられ、英語で witch と誤訳されたという逸話が有名です。今日では確率論のコーシー分布や、共鳴現象を表すローレンツ関数として応用されています。

アニェージの曲線 y=11+x2y = \dfrac{1}{1+x^2}y=1+x21​