二次関数と x 軸の交点

二次関数のグラフが $x$ 軸と交わる点は、 $y = 0$ となる点です。そこでは二次関数の $y$ が $0$ なので、交点の $x$ 座標は二次方程式を解けば求められます。 $y = x^2 - x - 6$ を例にします。

交点を求める

$x$ 軸との交点は $y = 0$ 、つまり $x^2 - x - 6 = 0$ の解です。左辺は $(x - 3)(x + 2)$ と因数分解できるので $x = 3$ または $x = -2$ となり、交点は $(3, 0)$ と $(-2, 0)$ の $2$ 点です。

因数分解ができないときは、解の公式を使います。

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

このように、放物線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解そのものです。

交点の個数

交点の個数は解の個数と一致し、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号で決まります。解の公式でルートの中身にあたるのが、この $D$ です。

判別式	$x$ 軸との交点
$D > 0$	異なる $2$ 点で交わる
$D = 0$	$1$ 点で接する（重解）
$D < 0$	交わらない

この例では $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 > 0$ なので、 $2$ 点で交わります。

解と係数の関係で検算する

解が求まったら、解と係数の関係で検算できます。 $ax^2 + bx + c = 0$ の $2$ 解の和は $-\dfrac{b}{a}$ 、積は $\dfrac{c}{a}$ です。

\begin{align*} 3 + (-2) &= 1 = -\frac{-1}{1} \\ 3 \times (-2) &= -6 = \frac{-6}{1} \end{align*}

どちらも合っているので、解を取り違えていないと確かめられます。

交点から頂点へ

$2$ つの交点が分かると、放物線の形もほとんど決まります。軸は $2$ 交点のちょうど真ん中を通るので、その $x$ 座標は $\dfrac{3 + (-2)}{2} = \dfrac{1}{2}$ です。これは頂点の公式 $-\dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{2}$ と一致します。放物線が軸に関して左右対称である以上、 $x$ 軸を切り取る $2$ 点も軸から等距離にあるからです。この $x$ を式に代入すれば、頂点 $\left( \dfrac{1}{2}, -\dfrac{25}{4} \right)$ も求まります。下に凸の放物線の頂点が $x$ 軸より下にあることと、 $2$ 点で交わることは、同じ事実の裏表です。

符号の境目

交点は、 $y$ の符号が入れかわる境目でもあります。

$x$ の範囲	$y$ の符号	グラフの位置
$x < -2$	正	$x$ 軸より上
$-2 < x < 3$	負	$x$ 軸より下
$x > 3$	正	$x$ 軸より上

二次不等式を解くときに交点を先に求めるのは、この境目を知るためです。グラフ上の大きな点が、その $2$ つの交点 $(3, 0)$ と $(-2, 0)$ です。