y = \ln x

対数関数 $y = \ln x$ のグラフ

$y = \ln x$ は $e^x$ の逆関数で、 $e$ を何乗すると $x$ になるかを表します。自然対数と呼ばれ、 $e^{\ln x} = x$ が成り立ちます。

定義域と値域

$e^y$ はつねに正の値しかとらないので、 $\ln x$ を考えられるのは $x > 0$ のときだけです。定義域は $x > 0$ 、値域はすべての実数です。指数関数の値域と定義域が、そっくり入れ替わった形になっています。

増減とグラフの形

導関数は次のようになります。

y' = \frac{1}{x}

$x > 0$ では正なので単調に増加しますが、 $x$ が大きくなるほど傾きは $0$ に近づき、増え方は限りなくゆるやかになります。二階導関数は $y'' = -\dfrac{1}{x^2}$ で負なので、グラフは全体が上に凸です。上限はなくどこまでも増えますが、その歩みは非常に遅く、 $\ln 1000 \approx 6.9$ にしかなりません。

漸近線と極限

$x \to 0^{+}$ では $-\infty$ に発散し、 $y$ 軸（直線 $x = 0$ ）が垂直漸近線です。 $x \to +\infty$ では $+\infty$ に発散しますが、どんなべき関数よりも遅く、正の $p$ に対して次が成り立ちます。

\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^p} = 0

特徴的な点

$(1, 0)$ と $(e, 1) \approx (2.718, 1)$ を通ります。 $a^0 = 1$ より、底が何であれ対数関数は必ず $(1, 0)$ を通ります。点 $(1, 0)$ での接線は傾き $1$ の直線 $y = x - 1$ です。

対数法則

法則	式	はたらき
積	$\ln(ab) = \ln a + \ln b$	掛け算を足し算に
商	$\ln \dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$	割り算を引き算に
累乗	$\ln a^p = p \ln a$	累乗を掛け算に

計算の段を $1$ つ下げるこの性質が、対数が計算の道具として使われてきた理由です。

積分としての定義

$\ln x$ は $\dfrac{1}{x}$ の原始関数でもあります。

\int_{1}^{x} \frac{dt}{t} = \ln x

この積分を自然対数の定義とする立場もあります。底の変換公式 $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$ により、すべての対数は $\ln x$ の定数倍で書けます。

応用

統計では尤度の積を対数尤度の和に直して扱う
情報理論では情報量やエントロピーが対数で定義される
計算量の $O(\log n)$ は、二分探索のように $1$ 手で問題が定数倍小さくなる速さを表す

対数関数 y=ln⁡xy = \ln xy=lnx のグラフ