放物線の焦点と準線

放物線 y=x24y = \dfrac{x^2}{4} の焦点と準線を求めます。x2=4yx^2 = 4y と変形すると x2=4pyx^2 = 4py の形（p=1p = 1）なので、焦点は (0,1)(0, 1)、準線は直線 y=−1y = -1 です。

等距離の性質

放物線上の点は、焦点までの距離と準線までの距離が等しいという性質をもちます。放物線上の点 (2,1)(2, 1) で確かめます。

測る先距離
焦点 (0,1)(0, 1)22+02=2\sqrt{2^2 + 0^2} = 2
準線 y=−1y = -11−(−1)=21 - (-1) = 2

定義から方程式へ

じつは、この等距離の条件こそが放物線の定義です。そこから方程式を導いてみましょう。点 (x,y)(x, y) が焦点 (0,1)(0, 1) と準線 y=−1y = -1 から等距離であるとすると、次の式が成り立ちます。

x2+(y−1)2=∣y+1∣\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = |y + 1|

両辺を 22 乗して展開します。

x2+y2−2y+1=y2+2y+1x2=4yy=x24\begin{align*} x^2 + y^2 - 2y + 1 &= y^2 + 2y + 1 \\ x^2 &= 4y \\ y &= \frac{x^2}{4} \end{align*}

y2y^2 と定数項が両辺から消え、放物線の式が残りました。放物線の方程式は、この等距離条件を書き直したものにすぎなかったのです。円が中心から等距離で定まったように、放物線は点と直線から等距離で定まります。

開き具合と pp

グラフの (2,1)(2, 1) と (−2,1)(-2, 1) は、焦点を通り軸に垂直な弦の両端です。この弦の長さは 4p=44p = 4 で、放物線の開き具合を測るものさしになります。pp が大きいほど焦点は遠ざかり、放物線は横に広がります。

放物線pp焦点準線
y=x2y = x^214\dfrac{1}{4}(0,14)\left( 0, \dfrac{1}{4} \right)y=−14y = -\dfrac{1}{4}
y=x24y = \dfrac{x^2}{4}11(0,1)(0, 1)y=−1y = -1
y=x28y = \dfrac{x^2}{8}22(0,2)(0, 2)y=−2y = -2

光学的な性質

焦点という名前は、その光学的な性質から来ています。軸に平行に入ってきた光は、放物線で反射するとすべて焦点の 11 点に集まります。パラボラアンテナや反射望遠鏡がこの形なのはそのためで、逆に焦点に光源を置けば、反射した光は軸に平行なまっすぐな光線になります。車のヘッドライトや懐中電灯の反射鏡は、この逆向きの使い方です。

大きな点が焦点 (0,1)(0, 1) と、放物線上の (2,1)(2, 1)・(−2,1)(-2, 1) です。