三次関数 $y = x^3$ のグラフ

$y = x^3$ は $x$ を $3$ 回掛け合わせた三次の単項式です。原点でいったん平らになり、そこから右上へどこまでも伸びていく曲線を描きます。

定義域と値域

定義域はすべての実数で、値域もすべての実数です。奇数乗なので $x$ が負なら $y$ も負になり、$x^2$ と違って負の値もとります。

• 定義域はすべての実数
• 値域もすべての実数
• 極大・極小はなし
• 変曲点は原点 $(0, 0)$

対称性

$(-x)^3 = -x^3$ より、原点に関して点対称な奇関数です。符号だけが反転し、たとえば $x = 2$ で $8$、$x = -2$ で $-8$ となります。グラフは第 $1$ 象限と第 $3$ 象限に広がります。

増減と変曲点

導関数は次のようになります。

$x = 0$ を除いてつねに正なので、全区間で単調に増加します。$x = 0$ では $y' = 0$ となって接線が $x$ 軸に重なりますが、その前後で増加が続くため、ここは極大でも極小でもありません。

二階導関数 $y'' = 6x$ は $x = 0$ の前後で符号を変えるので、原点は変曲点です。$x < 0$ では上に凸、$x > 0$ では下に凸となり、原点で曲がり方が入れかわります。

傾きが $0$ でも止まらない

傾きが $0$ になる点が極値とはかぎらない、というのがこの関数の教えるところです。$y' = 3x^2$ は $x = 0$ で $0$ になりますが、$2$ 乗なので前後で符号が変わりません。増減が入れかわらないので、山にも谷にもならないわけです。極値かどうかは、傾きが $0$ になることではなく、その前後で符号が変わることで決まります。

$x^2$ との比較

原点付近はいったん平らになり、$|x|$ が $1$ をこえると急激に立ち上がります。

逆関数

$x^3$ は実数全体から実数全体への一対一の対応なので逆関数をもち、それが $3$ 乗根 $y = \sqrt[3]{x}$ です。方程式 $x^3 = a$ は、どんな実数 $a$ に対しても実数解をちょうど $1$ つもちます。$x^2$ のように定義域を制限する必要がないのは、奇数乗が符号を保つからです。

べき関数の仲間

$x^5$ や $x^7$ など奇数乗の代表でもあります。奇数乗はすべて $(-1, -1)$、$(0, 0)$、$(1, 1)$ の $3$ 点を通ります。

応用

• 相似な立体の体積は長さの $3$ 乗に比例する（辺が $2$ 倍なら体積は $8$ 倍）
• 三次方程式の解の公式（カルダノの公式）の出発点
• コンピュータグラフィックスや設計で使う三次スプライン曲線・ベジエ曲線