y = \sin x

三角関数 $y = \sin x$ のグラフ

$y = \sin x$ は、単位円周上で角 $x$ （ラジアン）の位置にある点の $y$ 座標です。角が増えるにつれて点が円を回り、その高さが上下します。その動きをそのまま横に引き伸ばしたものが、正弦曲線（サインカーブ）です¹。

定義域と値域

定義域はすべての実数です。単位円上の点の高さなので $-1 \leq \sin x \leq 1$ となり、値域は区間 $[-1, 1]$ になります。

定義域はすべての実数
値域は $-1 \leq y \leq 1$
最大値は $1$ 、最小値は $-1$
振幅は $1$ 、周期は $2\pi$

周期性

円を一周すると点は元の位置に戻るので、 $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ が成り立ちます。周期は $2\pi$ で、同じ波形が左右に限りなく繰り返されます。

対称性

$\sin(-x) = -\sin x$ が成り立つ奇関数で、グラフは原点に関して点対称です。

増減と極値

導関数は $y' = \cos x$ です。 $\cos x > 0$ の区間で増加し、 $\cos x < 0$ の区間で減少します。 $x = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$ で最大値 $1$ 、 $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2n\pi$ で最小値 $-1$ をとります。

二階導関数は $y'' = -\sin x$ で、零点 $x = n\pi$ のたびに符号が変わります。したがって変曲点は $x = n\pi$ にあり、そこでの接線の傾きは $\pm 1$ です。零点と変曲点が一致するのは、この関数が $y'' = -y$ を満たすためです。

特徴的な値

$x$	$\sin x$
$0$	$0$
$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{\pi}{2}$	$1$
$\pi$	$0$

零点は $\sin x = 0$ となる $x = n\pi$ （ $n$ は整数）で、 $\pi$ ごとに等間隔に並びます。

原点付近の近似

原点での接線は傾き $1$ の直線 $y = x$ で、次の極限が成り立ちます。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

角が小さいとき $\sin x \approx x$ と近似できるのはこのためです。テイラー展開はすべての実数で収束します。

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

奇数次の項しか現れないことが、奇関数であることの級数側の現れです。

微分の周期

微分するたびに次のように移り、 $4$ 回で元に戻ります。

回数	導関数
$1$	$\cos x$
$2$	$-\sin x$
$3$	$-\cos x$
$4$	$\sin x$

他の関数との関係

$\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ なので、余弦は正弦の波を左へ $\dfrac{\pi}{2}$ ずらした形です。 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ という関係もあり、これは単位円の方程式そのものです。オイラーの公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ では、正弦が虚部を担います。

応用

ばねの振動や振り子のような単振動
音・光・電波などの波
交流電流と交流電圧
フーリエ解析における基本の波

フーリエ解析によれば、どんな周期的な波も正弦波の重ね合わせとして書けます²。正弦曲線は、繰り返す現象を記述するときの基本の形です。

Sine and cosine、Wikipedia
Fourier series、Wikipedia

三角関数 y=sin⁡xy = \sin xy=sinx のグラフ