y = x^{2/3}

べき関数 $y = x^{2/3}$ のグラフ

$y = x^{2/3}$ は指数が分数のべき関数で、 $x^{2/3} = \left(\sqrt[3]{x}\right)^2 = \sqrt[3]{x^2}$ と書けます。 $3$ 乗根と $2$ 乗の組み合わせで、 $x^2$ がつねに $0$ 以上になるため、負の $x$ に対しても実数として定義できます。

定義域と対称性

定義域はすべての実数
値域は $y \geq 0$
偶関数
原点で最小値 $0$

$(-x)^{2/3} = \sqrt[3]{(-x)^2} = x^{2/3}$ なので、 $y$ 軸に関して左右対称です。

原点の尖点

導関数は $y' = \dfrac{2}{3}x^{-1/3} = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ です。

近づき方	$y'$
$x \to 0^{+}$	$\to +\infty$
$x \to 0^{-}$	$\to -\infty$

原点では両側から接線が垂直に立ち上がります。このように鋭くとがった点を尖点（カスプ）と呼びます¹。放物線 $y = x^2$ が原点でなめらかな谷になるのとは対照的に、 $x^{2/3}$ は原点へいっそう鋭く落ち込みます。左右の傾きが無限大で一致しないため、そこでは微分できません。

$3$ 乗根との関係

奇関数の $\sqrt[3]{x}$ が原点を突き抜けて増加し続けるのに対し、 $x^{2/3}$ はそれを $2$ 乗してつねに $0$ 以上に折り返した形と見ることができます。

関数	対称性	原点
$\sqrt[3]{x}$	奇関数	垂直な接線をもつ変曲点
$x^{2/3}$	偶関数	尖点（最小）

特徴的な値

$x$	$x^{2/3}$
$\pm 1$	$1$
$\pm 8$	$4$
$\pm 27$	$9$

$x \to \pm\infty$ では値も $+\infty$ に向かい、上限はありません。べき関数 $x^p$ の一種で、 $0 < p < 1$ なので原点付近では急に、遠方ではゆるやかに増えます。

現れる場面

有名なアステロイド（星芒形）にもこの形が現れます。

x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}

ケプラーの第三法則では、公転周期の $2$ 乗が軌道長半径の $3$ 乗に比例します²。軌道長半径を周期から求めると $\dfrac{2}{3}$ 乗の関係になり、この曲線が現れます。

Singular point of a curve、Wikipedia
Kepler's laws of planetary motion、Wikipedia

べき関数 y=x2/3y = x^{2/3}y=x2/3 のグラフ