べき関数 $y = x^{2/3}$ のグラフ

$y = x^{2/3}$ は指数が分数のべき関数で、$x^{2/3} = \left(\sqrt[3]{x}\right)^2 = \sqrt[3]{x^2}$ と書けます。$3$ 乗根と $2$ 乗の組み合わせで、$x^2$ が常に $0$ 以上になるため、負の $x$ に対しても実数として定義できます。

定義域はすべての実数、値域は $y \geq 0$ です。$2$ 乗が効くので値が負になることはありません。また $(-x)^{2/3} = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$ なので、$y$ 軸に関して左右対称な偶関数です。

導関数は $y' = \dfrac{2}{3}x^{-1/3} = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ です。$x \to 0^{+}$ で $y' \to +\infty$、$x \to 0^{-}$ で $y' \to -\infty$ となり、原点では両側から接線が垂直に立ち上がります。このように鋭くとがった点を尖点（カスプ）と呼びます。放物線 $y = x^2$ が原点でなめらかな谷になるのとは対照的に、$x^{2/3}$ は原点へV字よりもさらに鋭く落ち込みます。

尖点である原点では左右の傾きがともに無限大で一致しないため、微分できません。奇関数の $3$ 乗根 $\sqrt[3]{x}$ が原点を突き抜けて増加し続けるのに対し、$x^{2/3}$ はそれを $2$ 乗して常に $0$ 以上に折り返した形と見ることもできます。$x \to \pm\infty$ では値も $+\infty$ に向かい、上限はありません。

増減を見ると、$x < 0$ では減少、$x > 0$ では増加し、原点 $(0, 0)$ で最小値 $0$ をとります。原点以外ではなめらかな曲線です。具体的な値は $x = \pm 1$ で $y = 1$、$x = \pm 8$ で $y = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$、$x = \pm 27$ で $y = 3^2 = 9$ です。

べき関数 $x^p$ の一種で、$0 < p < 1$ なので原点付近では急に、遠方ではゆるやかに増えます。有名なアステロイド（星芒形）にもこの形が現れます。

ケプラーの第三法則（公転周期の $2$ 乗が軌道長半径の $3$ 乗に比例）のように、$2/3$ 乗の関係は自然界の比例則にもしばしば登場します。