位相を弱めるとコンパクトさが戻る〜バナッハ・アラオグルの定理

無限次元では閉単位球がコンパクトにならない。ノルムの位相で見るかぎり逃げ道はない。

位相を弱めると話が変わる。双対空間の閉単位球は、弱スター位相ではいつでもコンパクトになる^[1]。

バナッハ・アラオグルの定理である。失ったコンパクト性が、測り方を変えるだけで戻ってくる。

弱収束

$X$ の点列 $\{x_n\}$ が $x$ へ弱収束するとは、すべての $f\in X^{\ast }$ について $f(x_n)\to f(x)$ が成り立つことをいう^[3]。

記号では $x_n\rightharpoonup x$ と書く。ノルムでの収束より弱い条件である。

${\ell }^2$ の座標ベクトル $e_n$ で確かめよう。双対は ${\ell }^2$ 自身なので、$y\in {\ell }^2$ との内積を見る。

$$⟨e_n,y⟩=y_n⟶0$$

$\sum |y_n{|}^2<\infty$ だから各項は $0$ へ向かう。どの $y$ をとっても同じなので $e_n\rightharpoonup 0$ である。

ノルムのほうは動かない。$\Vert e_n\Vert =1$ のまま、弱極限は $\Vert 0\Vert =0$ になる。

$L^2(0,\pi )$ でも同じことが起きる。${\psi }_k(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin (kx)$ は正規直交系で、弱極限は $0$ になる^[3]。

どの $g\in L^2$ に対しても ${\int }_0^{\pi }{\psi }_{k}gdx\to 0$ である。振動が細かくなるほど、正の部分と負の部分が打ち消し合う。

ノルムは落ちることがある

弱極限をとるとノルムは減りうる。減っても増えないところが要点になる^[3]。

$$\Vert x\Vert \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\Vert x_n\Vert$$

$e_n\rightharpoonup 0$ では、左辺が $0$、右辺が $1$ である。差の $1$ がどこへ消えたのかは、ノルムだけを見ても分からない。

ヒルベルト空間では、ノルムの収束を足すと強収束に格上げできる。展開して確かめよう。

$$\begin{array}{rl}\Vert x_n-x{\Vert }^2& =\Vert x_n{\Vert }^2-2\mathrm{Re}⟨x_n,x⟩+\Vert x{\Vert }^2\\ & ⟶\Vert x{\Vert }^2-2\Vert x{\Vert }^2+\Vert x{\Vert }^2=0\end{array}$$

$x_n\rightharpoonup x$ から $⟨x_n,x⟩\to ⟨x,x⟩=\Vert x{\Vert }^2$ が出る。ここに $\Vert x_n\Vert \to \Vert x\Vert$ を重ねると右辺が消える^[3]。

ℓ1 では弱と強が一致する

例外的な空間もある。${\ell }^1$ では弱収束と強収束が同じものになる。シューアの性質と呼ばれる^[3]。

${\ell }^1$ の $e_n$ は $\Vert e_n{\Vert }_1=1$ なので強収束しない。したがって弱収束もしない。

${\ell }^2$ では弱収束したのに、${\ell }^1$ ではしない。同じ列でも、住む空間が変わると結論が変わる。

弱スター位相

双対空間 $X^{\ast }$ には $2$ 種類の弱い位相がある。$X^{\ast \ast }$ で測れば弱位相、$X$ で測れば弱スター位相である^[3]。

$f_n\to f$ が弱スターの意味で成り立つとは、すべての $x\in X$ で $f_n(x)\to f(x)$ が成り立つことをいう。各点収束そのものである。

$X$ が反射的なら $X^{\ast \ast }=X$ なので、$2$ つの位相は一致する。反射的でないときだけ差が出る。

例：弱スターと弱がずれる

$X=c_0$ とすると $X^{\ast }={\ell }^1$ である。${\ell }^1$ の中で $e_n$ を汎関数として見よう。

$x\in c_0$ に対して $e_n(x)=x_n$ である。$x$ は $0$ に収束するので $e_n(x)\to 0$、つまり弱スターの意味で $e_n\to 0$ になる。

いっぽう ${\ell }^1$ の弱位相では収束しない。シューアの性質からノルム収束と同じになり、$\Vert e_n{\Vert }_1=1$ が動かないためである。

同じ列が、弱スターでは収束し、弱では収束しない。$c_0$ が反射的でないので、この差が現れる。

バナッハ・アラオグルの定理

$X$ をノルム空間とする。$X^{\ast }$ の閉単位球は弱スター位相でコンパクトである^[1,2]。

$$B_{X^{\ast }}=\{f\in X^{\ast }:\Vert f\Vert \le 1\}$$

次元にも完備性にも条件がつかない。双対側の球であることだけが効いている。

証明はチコノフの定理

証明の骨は、汎関数を「各点での値の組」と見るところにある^[4]。

$f\in B_{X^{\ast }}$ は $|f(x)|\le \Vert x\Vert$ をみたす。だから $f$ は、各 $x$ ごとに半径 $\Vert x\Vert$ の円板から値を $1$ つ選んだものと見なせる。

弱スター位相は各点収束の位相なので、この積の位相とそのまま一致する。コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトなので、証明が終わる^[4]。

可分なら点列でとれる

コンパクトといっても、点列で部分列がとれるとは限らない。位相空間では別の話になる。

$X$ が可分なら、$B_{X^{\ast }}$ 上の弱スター位相は距離化できる^[2]。稠密な列 $\{x_k\}$ を選び、次の距離を入れる。

$$d(f,g)=\sum _{k=1}^{\infty }{2}^{-k}\frac{|f(x_k)-g(x_k)|}{1+|f(x_k)-g(x_k)|}$$

距離化できればコンパクト性と点列コンパクト性が一致する。有界な汎関数の列から、弱スター収束する部分列がとれる^[4]。

可分でないと崩れる。${\ell }^{\infty }$ を例にすると、コンパクトではあっても点列コンパクトにならない^[4]。

例：デルタ測度の列

$C[0,1]$ の双対は測度の空間である。点 $a$ での値を返す汎関数 ${\delta }_a$ を考えよう。

$${\delta }_a(f)=f(a)$$

$a=\frac{1}{n}$ とすると ${\delta }_{1/n}(f)=f\left(\frac{1}{n}\right)\to f(0)$ である。$f$ が連続だからこうなる。

弱スターの意味で ${\delta }_{1/n}\to {\delta }_0$ になった。$\Vert {\delta }_a\Vert =1$ なので、この列は閉単位球の中を動いている。

ノルムでは収束しない。${\delta }_{1/n}-{\delta }_0$ の全変動ノルムは $2$ で、いつまでも $0$ にならない。

反射性との関係

双対側では球がいつもコンパクトになるのに、もとの空間ではそうならない。この差が反射性である。

角谷の定理によれば、バナッハ空間が反射的であることと、閉単位球が弱位相でコンパクトであることは同値になる^[1]。

反射的なら $X=X^{\ast \ast }$ なので、$X$ の球は双対側の球でもある。アラオグルの定理がそのまま効く。

例：最小化問題を解く

弱コンパクト性の使い道は、最小値の存在を示すところにある。

反射的な空間で、有界な最小化列 $\{x_n\}$ をとる。弱収束する部分列がとれるので、極限 $x$ を候補にする。

汎関数が弱下半連続なら $F(x)\le \mathrm{liminf}F(x_n)$ となり、$x$ が最小値を与える。ノルム自身がこの性質を持っている^[3]。

強収束を待っていると候補が見つからない。弱い収束で十分だと分かったところが、この道具の効きどころである。

検算のしかた

弱収束を疑ったら、双対空間の元を具体的にあてる。${\ell }^2$ なら $y\in {\ell }^2$、$C[0,1]$ なら測度である。

すべての $f$ で値が収束するかを見ればよい。$1$ つでも収束しない $f$ があれば弱収束ではない。

ノルムの挙動も並べて見ると分かりやすい。$\Vert x_n\Vert$ が $\Vert x\Vert$ より大きいまま止まっていれば、強収束ではないと即断できる。

よくある誤り

コンパクト性は絶対の性質ではなく、どの位相で見るかで決まる。位相を弱めるという操作が、無限次元での道具になる。

参考