掛け算のあるノルム空間からバナッハ環と C* 代数へ

ノルム空間に掛け算を足す。それだけで、可逆性やスペクトルの話が代数の言葉で書けるようになる^[1]。

条件は $1$ つだけである。$\Vert ab\Vert \le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$ を課すと、掛け算が連続になる。

さらに対合と $\Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a{\Vert }^2$ を足すと $C^{\ast }$ 代数になる。このときノルムは代数の構造だけで決まってしまう^[2]。

バナッハ環

複素数体上の結合的な代数 $A$ が、完備なノルムをもつとする。ノルムが劣乗法的なら、$A$ をバナッハ環という^[1,3]。

$$\Vert ab\Vert \le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$$

単位元 $1$ があって $\Vert 1\Vert =1$ のとき単位的という。掛け算が可換なら可換バナッハ環である。

劣乗法性があるので、掛け算は連続な写像になる。ノルムと代数が噛み合う最小限の条件になっている。

例をいくつか

代表的なものを並べる^[1,4]。

$C(K)$ は上限ノルムで、$|fg|\le |f||g|$ から劣乗法性が出る。作用素の空間 $\mathcal{B}(X)$ では合成が掛け算になる。

$L^1(\mathbb{R})$ の畳み込みには単位元がない。デルタ関数が必要になるが、それは可積分な関数ではないためである^[3]。

ノイマン級数

$\Vert a\Vert <1$ なら $1-a$ は可逆である^[1,4]。逆元は等比級数の形で書ける。

$$(1-a{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{a}^n$$

収束の理由は劣乗法性にある。$\Vert a^n\Vert \le \Vert a{\Vert }^n$ なので、ノルムの和が等比級数でおさえられる。

$$\sum _{n=0}^{\infty }\Vert a^n\Vert \le \sum _{n=0}^{\infty }\Vert a{\Vert }^n=\frac{1}{1-\Vert a\Vert }$$

完備性から絶対収束する級数は収束する。$\Vert a\Vert =\frac{1}{2}$ なら $\Vert (1-a{)}^{-1}\Vert \le 2$ である。

$\Vert a\Vert$ が $1$ に近づくと、この評価は発散する。可逆性が壊れる手前で、逆元がいくらでも大きくなる。

可逆元は開集合をなす

この評価から、可逆元の集合が開集合だと分かる^[1]。

$b$ が可逆で $\Vert a-b\Vert <\frac{1}{\Vert b^{-1}\Vert }$ なら、$a$ も可逆である。$a=b(1-b^{-1}(b-a))$ と書き、括弧の中にノイマン級数を当てればよい^[3]。

逆元をとる操作も連続になる。可逆元の全体は位相群になっている^[4]。

スペクトル

$\lambda \cdot 1-a$ が可逆でないような $\lambda$ を集めたものをスペクトルという^[1]。

$$\sigma (a)=\{\lambda \in \mathbb{C}:\lambda \cdot 1-a\text{ が可逆でない}\}$$

$|\lambda |>\Vert a\Vert$ なら $\lambda \cdot 1-a=\lambda (1-a/\lambda )$ にノイマン級数が使えるので、可逆になる。

したがって $\sigma (a)$ は半径 $\Vert a\Vert$ の閉円板に入る。可逆元が開集合なので $\sigma (a)$ は閉、合わせてコンパクトである。

空にならないことも言える。空だとレゾルベントが全平面で有界な解析関数になり、リウヴィルの定理に反する^[1]。

スペクトル半径はノルムの $n$ 乗根で書ける^[3]。

$$r(a)=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert a^n{\Vert }^{1/n}$$

ゲルファント・マズールの定理

スペクトルが空でないことから、強い結論が出る^[4]。

$0$ でない元がすべて可逆な複素バナッハ環は、$\mathbb{C}$ と等長同型になる。

理由は短い。$a$ をとり $\lambda \in \sigma (a)$ を選ぶと、$a-\lambda \cdot 1$ は可逆でない。仮定からそれは $0$ しかありえない。

つまり $a=\lambda \cdot 1$ である。すべての元がスカラー倍になり、環は $\mathbb{C}$ そのものになる^[4]。

可換ならゲルファント変換

可換で単位的なバナッハ環では、元を関数に変える写像がある^[1]。

指標とは、$0$ でない乗法的な線形汎関数 $\chi :A\to \mathbb{C}$ のことである。指標の全体を $\Delta$ と書く。

$$\hat{a}(\chi )=\chi (a)$$

$a$ を $\Delta$ の上の関数 $\hat{a}$ に移す。これがゲルファント変換である。値域はスペクトルに一致する^[1]。

$C(K)$ で試すと分かりやすい。指標は点での評価しかないので、$\Delta$ は $K$ そのものになる。ゲルファント変換は恒等写像である。

C* 代数

対合 $a\mapsto a^{\ast }$ をもつバナッハ環で、次の等式が成り立つものを $C^{\ast }$ 代数という^[2,3]。

$$\Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a{\Vert }^2$$

$C^{\ast }$ 恒等式と呼ばれる。劣乗法性からは $\Vert a^{\ast }a\Vert \le \Vert a^{\ast }\Vert \Vert a\Vert$ しか出ないので、これは強い要求である。

例はすでに手の中にある。ヒルベルト空間の有界作用素の全体 $\mathcal{B}(H)$、コンパクト作用素の全体、$C_0(X)$、そして $n$ 次の行列環である^[2]。

ノルムが代数で決まる

$C^{\ast }$ 恒等式があると、ノルムがスペクトル半径から復元できる^[2]。

自己共役な元では $\Vert a^2\Vert =\Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a{\Vert }^2$ である。くり返して $2^k$ 乗根をとると $r(a)=\Vert a\Vert$ が出る。

一般の元は $a^{\ast }a$ に落とせばよい。

$$\Vert a{\Vert }^2=\Vert a^{\ast }a\Vert =r(a^{\ast }a)$$

右辺はスペクトル半径なので、代数の構造だけで決まる。つまり $C^{\ast }$ ノルムは $1$ つしか入らない^[2]。

この事実から、$\ast$ 準同型はいつでも縮小写像になる。連続性を仮定しなくても、自動的についてくる^[2]。

例：2 次の行列で確かめる

行列環で $C^{\ast }$ 恒等式を見る。

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right),A^{\ast }A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$$

$A^{\ast }A$ の固有値は $0$ と $4$ なので $r(A^{\ast }A)=4$ である。よって $\Vert A\Vert =2$ になる。

いっぽう $A$ 自身のスペクトル半径は $0$ である。$A$ が正規でないので、$r(A)\ne \Vert A\Vert$ になっている。

$C^{\ast }$ 恒等式が効くのは $a^{\ast }a$ の側だと分かる。この落とし方があるので、正規でない元も扱える。

ゲルファント・ナイマルクの定理

$C^{\ast }$ 代数の姿を決める定理が $2$ つある^[2]。

可換な $C^{\ast }$ 代数は、ある局所コンパクト空間 $X$ 上の $C_0(X)$ と $\ast$ 同型になる。ゲルファント変換がその同型を与える。

一般の $C^{\ast }$ 代数は、あるヒルベルト空間の上の $\mathcal{B}(H)$ の閉部分代数と $\ast$ 同型になる。

可換なら関数、非可換なら作用素。$2$ つの世界が同じ枠に収まっている^[2]。

例：円板環でスペクトルを出す

円板環 $A(D)$ は、閉単位円板で連続、内部で正則な関数の全体である。上限ノルムを入れる。

元として $f(z)=z$ をとる。$f-\lambda$ が可逆になるのは、$\frac{1}{z-\lambda }$ がこの環に入るときである。

$|\lambda |\le 1$ なら円板の中に極が来るので入らない。$|\lambda |>1$ なら極が外にあるので入る。

$$\sigma (f)=\{\lambda :|\lambda |\le 1\}$$

スペクトルは閉単位円板になった。ノルムも $1$ なので、$r(f)=\Vert f\Vert$ である。

例：畳み込みとフーリエ変換

$L^1(\mathbb{R})$ に畳み込みを入れた環では、ゲルファント変換がフーリエ変換になる^[1]。

指標は各 $\xi$ ごとに $1$ つずつあり、次の形で書ける。

$${\chi }_{\xi }(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}dx$$

乗法的だという条件が、畳み込みが積に変わるという性質そのものになっている。

指標の空間が $\mathbb{R}$ と同一視でき、$\hat{f}$ はふつうのフーリエ変換である。抽象的な変換が、よく知る変換と重なった。

例：ウィーナーの定理

絶対収束するフーリエ級数の全体を考える。係数が ${\ell }^1(\mathbb{Z})$ に入る関数の集まりである。

畳み込みを掛け算にするとバナッハ環になる。指標は円周上の点での評価なので、指標の空間は円周である。

ここでゲルファント理論を当てる。元が可逆であることと、対応する関数が円周上で $0$ にならないことが同値になる^[1]。

言いかえると、絶対収束するフーリエ級数が決して $0$ にならないなら、その逆数もまた絶対収束するフーリエ級数になる。

ウィーナーの定理と呼ばれる主張である。もとの証明は長いが、可換バナッハ環の枠に乗せると数行で終わる。

検算

劣乗法性は、掛け算を定めたら最初に確かめる。$\Vert ab\Vert \le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$ が崩れると、以降の議論がすべて止まる。

$C^{\ast }$ 恒等式は $a^{\ast }a$ で試す。行列なら固有値を計算し、最大値がノルムの二乗になるかを見ればよい。

スペクトルを求めたら、半径が $\Vert a\Vert$ 以下に収まっているかを確かめる。はみ出していれば計算違いである。

よくある誤り

掛け算を $1$ つ足すだけで、解析の道具が代数の言葉に翻訳されていく。$C^{\ast }$ 恒等式まで進むと、ノルムさえ代数に吸収される。

参考