同じ答えに 3 通りの道で着く｜行列の指数関数を計算する

$e^{tA}$ は級数で定義されます。ただし、実際に値を出すときに級数を足すことはまずありません^[1]。

対角化する道、ジョルダン形に分ける道、級数を打ち切る道。$3$ つあって、どれも同じ答えに着きます。

$2$ 次の行列を $4$ 種類とり、順に計算します。最後にどの道でも同じになることを数値で確かめる。

定義と使う道具

級数はどの正方行列でも収束します^[3]。

$$e^A=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{A^k}{k!}=I+A+\frac{A^2}{2!}+\dots$$

計算に効く性質を $3$ つ挙げます。

$2$ つ目が検算に使えます^[3,4]。行列式とトレースを別々に出して突き合わせると、計算違いがすぐ見つかる。

問 1：相異なる実固有値

次の行列で $e^{tA}$ を求めます。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$$

上三角なので固有値は $2$ と $3$ です。固有ベクトルは $\lambda =2$ が $(1,0)$、$\lambda =3$ が $(1,1)$ になります。

固有ベクトルを列に並べた行列を $P$ とします。上三角なので逆行列もすぐ出ます。

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

対角化の式に入れて計算します^[4]。

$$e^{tA}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{2t}& -e^{2t}+e^{3t}\\ 0& e^{3t}\end{array}\right)$$

$t=0$ を入れると単位行列に戻ります。行列式は $e^{2t}\cdot e^{3t}=e^{5t}$ で、トレースの $5$ と合いました。

$t=1$ での数値も出しておきます。$e^2=7.389$、$e^3=20.086$ なので、成分は $7.389$、$12.696$、$0$、$20.086$ です。

問 2：固有値が重なる場合

対角化できない行列を扱います。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=2I+N,N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

$2I$ と $N$ は可換なので、指数関数を分けられます。$N^2=0$ なので $e^{tN}$ は $2$ 項で終わる^[3]。

$$e^{tA}=e^{2t}(I+tN)=e^{2t}\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$$

行列式は $e^{4t}$ で、トレース $4$ と一致します。

$t$ が $1$ 次で残るところが対角化できる場合との違いです。固有値が重なると、指数関数の前に多項式が付く。

問 3：複素の固有値

回転を作る行列を見ます。

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

$A^2=-I$ なので、級数が偶数項と奇数項に分かれます。偶数項が $\cos$、奇数項が $\sin$ の級数になる。

$$e^{tA}=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)$$

角度 $t$ の回転行列です^[4]。行列式は $1$、トレースは $0$ で条件をみたします。

固有値は $\pm i$ です。指数関数で送ると $e^{\pm it}$ となり、単位円の上に乗ります。

問 4：べき零な行列

最後は二乗すると消える行列です。

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 0\end{array}\right)$$

$A^2=0$ なので級数は $2$ 項で終わります。

$$e^{tA}=I+tA=\left(\begin{array}{cc}1& 3t\\ 0& 1\end{array}\right)$$

$A$ のスペクトルは $\{0\}$ だけです。指数関数で送ると $\{1\}$ になり、実際に $e^{tA}$ の固有値は $1$ の重解になっています。

$\Vert A\Vert =3$ と大きくても、スペクトルが $0$ だけなら指数関数は多項式で止まります。

級数の打ち切りと突き合わせる

問 1 の答えを、級数の側から数値で確かめます。$t=0.1$ とし、$4$ 次まで足します。

$tA$ の各べきを順に出します。

$$(tA{)}^2=\left(\begin{array}{cc}0.04& 0.05\\ 0& 0.09\end{array}\right),(tA{)}^3=\left(\begin{array}{cc}0.008& 0.019\\ 0& 0.027\end{array}\right)$$

$(1,1)$ 成分を足していくと $1+0.2+0.02+0.00133+0.00007=1.22140$ です。

厳密な値は $e^{0.2}=1.221403$ でした。$4$ 次までで小数第 $5$ 位まで合っています。

$(1,2)$ 成分は $0.1+0.025+0.00317+0.00027=0.12844$ になります。厳密な値 $-e^{0.2}+e^{0.3}=0.128456$ と一致しました。

半群になっている

$t$ を動かすと、作用素の族ができます。この族は足し算を掛け算に変えます^[2]。

$$e^{(s+t)A}=e^{sA}{e}^{tA}$$

$sA$ と $tA$ は可換なので、さきほどの規則がそのまま使えます。

問 3 で確かめると分かりやすい。角度 $s$ の回転と角度 $t$ の回転を合成すると、角度 $s+t$ の回転になります。

$t=0$ で単位行列、微分すると $A$ が出る。この $A$ を生成子と呼びます^[2]。

$${\frac{d}{dt}{e}^{tA}|}_{t=0}=A$$

スペクトルの動きを見る

$4$ つの問題でスペクトルがどう動いたかを並べます。

どの場合も $\sigma (e^{tA})=e^{t\sigma (A)}$ になっています。指数関数がスペクトルの上でそのまま働く。

実部が正の固有値があると $e^{tA}$ は増大し、実部が負なら減衰します。純虚数なら大きさが変わりません。

微分方程式を解く

$x^{\prime }=Ax$、$x(0)=x_0$ の解は $x(t)=e^{tA}{x}_0$ です^[4]。

問 1 で $x_0=(1,1)$ を入れます。第 $1$ 成分は $e^{2t}+(-e^{2t}+e^{3t})=e^{3t}$ になります。

第 $2$ 成分も $e^{3t}$ なので、$x(t)=e^{3t}(1,1)$ です。$(1,1)$ は固有値 $3$ の固有ベクトルなので、向きが変わらず倍率だけが変わりました。

$x_0=(1,0)$ なら $x(t)=e^{2t}(1,0)$ です。こちらは固有値 $2$ の向きになります。

可換でないと分けられない

$e^{A+B}=e^A{e}^B$ は、いつでも成り立つわけではありません^[1]。

問 3 の $A$ と問 4 の $B$ で試します。$AB$ と $BA$ を計算すると値が違う。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 3\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

可換ではないので、指数関数を分けられません。トレースを見ると $\mathrm{tr}(A+B)=0$ なので行列式はどちらも $1$ ですが、行列そのものは一致しない。

級数が途中で止まる場合を、もう一度おさらいします。

答えを確かめる

計算が終わったら、まず $t=0$ を入れます。単位行列に戻らなければ、その時点で誤りです。

次に行列式とトレースを突き合わせます。$\det e^{tA}$ を直接計算し、$e^{t\mathrm{tr}A}$ と比べる^[3]。

問 1 なら $e^{2t}\cdot e^{3t}=e^{5t}$、トレースは $5$ で一致しました。問 3 なら行列式が ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$、トレースが $0$ です。

微分して $A{e}^{tA}$ になるかも見ておくと安心できます。問 2 で微分すると $2e^{2t}(I+tN)+e^{2t}N$ で、これは $A{e}^{tA}$ に等しくなります。

級数の打ち切りは、$t$ を小さくとって数値で照合するのに向きます。$t$ が大きいと項数が要るので、対角化のほうが早い。

出典