作用素にも絶対値がある〜極分解からトレースクラスまで

複素数は $z=e^{i\theta }|z|$ と、向きと大きさに分けられます。$n=1$ の極形式です^[4]。

作用素にも同じ分解があります。$T=U|T|$ と書き、$|T|=(T^{\ast }T{)}^{1/2}$ が大きさにあたる^[1]。

大きさのほうを対角化して並べた数が特異値です。その和が有限かどうかで、トレースクラスかどうかが決まります^[2]。

絶対値を作る

$T^{\ast }T$ は自己共役で、しかも $⟨T^{\ast }Tx,x⟩=\Vert Tx{\Vert }^2\ge 0$ なので正の作用素です。

正の作用素には正の平方根がただ $1$ つ存在します。それを $|T|$ と書く^[1]。

$$|T|=(T^{\ast }T{)}^{1/2}$$

この作用素は $T$ と同じ伸ばし方をします。長さを計算すると分かる。

$$\Vert |T|x{\Vert }^2=⟨|T|x,|T|x⟩=⟨T^{\ast }Tx,x⟩=\Vert Tx{\Vert }^2$$

どの $x$ でも $\Vert |T|x\Vert =\Vert Tx\Vert$ です。向きの情報だけが落ちています。

向きの部分を作る

$U$ は $|T|x\mapsto Tx$ という対応で定めます。長さが等しいので、この対応は矛盾なく決まる^[1]。

$|T|$ の像の閉包の上では等長になり、その直交補空間では $0$ と定めます。こういう作用素を部分等長といいます。

$U$ が一意に決まるには条件が要ります。$\ker U=\ker T$ を課せば $1$ つに定まる^[1]。

有限次元なら $U$ をユニタリまで延ばせます。無限次元では、いつでもそうできるとはかぎりません^[1]。

例：2 次の行列で計算する

行列を $1$ つとります。

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$$

$A^{\ast }A$ を計算しましょう。

$$A^{\ast }A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 4\end{array}\right),|A|=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$

平方根は対角成分の平方根をとるだけです。$|A|$ は第 $2$ 座標を $2$ 倍する作用素になりました。

$U$ は $|A|$ の像を $A$ の像へ移します。$(0,y)\mapsto (y,0)$ なので、次の形です。

$$U=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

掛けると $U|A|=A$ が確かめられます。$U$ はユニタリではなく、第 $1$ 座標をつぶす部分等長です。

特異値

$|T|$ がコンパクトなら、固有値を大きい順に並べられます。これを特異値といい $s_1\ge s_2\ge \cdots$ と書きます^[2]。

このとき $T$ は次の形に書けます。特異値分解です^[1]。

$$Tx=\sum _n{s}_n⟨x,e_n⟩f_n$$

$\{e_n\}$ と $\{f_n\}$ は正規直交系です。有限次元なら、単位球が半軸 $s_n$ の楕円体へ写ることを意味します。

特異値の和で分類する

特異値の並びを数列と見て、どの空間に入るかで作用素を分類します^[2]。

包含関係は数列のときと同じ向きになります。無限次元では、どの包含も真です^[2]。

$$\text{有限階数}\subset \text{トレースクラス}\subset \text{ヒルベルト・シュミット}\subset \text{コンパクト}$$

例：対角作用素で見分ける

$D{e}_n=a_n{e}_n$ という作用素を考えます。特異値は $|a_n|$ を並べたものです。

$a_n=\frac{1}{n^2}$ なら $\sum a_n=\frac{{\pi }^2}{6}$ で収束するので、トレースクラスになります。

$a_n=\frac{1}{n}$ はどうでしょう。$\sum \frac{1}{n}$ は発散し、$\sum \frac{1}{n^2}$ は収束します。

ヒルベルト・シュミットではあるが、トレースクラスではない。境目にいる例です。

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ なら $\sum \frac{1}{n}$ が発散するので、ヒルベルト・シュミットですらありません。$0$ には近づくのでコンパクトです。

トレース

トレースクラスの作用素には、行列の対角和にあたる量が定義できます^[2]。

$$\mathrm{tr}(T)=\sum _n⟨T{e}_n,e_n⟩$$

この和は絶対収束し、正規直交基底のとり方によりません^[3]。トレースノルムは $\Vert T{\Vert }_1=\mathrm{tr}(|T|)$ です。

性質もよく知られた形で成り立ちます。

最後の性質は、${\ell }^2$ の元どうしを掛けると ${\ell }^1$ に入る、という事実の作用素版です^[3]。

例：ボルテラ作用素

$L^2[0,1]$ で $(Vf)(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ とします。特異値は次の形です。

$$s_k=\frac{1}{(k+1/2)\pi }(k=0,1,2,\dots )$$

二乗和は収束します。$\sum \frac{1}{(k+1/2{)}^2{\pi }^2}$ が有限なので、ヒルベルト・シュミットです。

いっぽう和のほうは発散する。$\frac{1}{k}$ と同じ速さで減るためです。

トレースクラスではありません。$2$ つの階級のあいだにいる、ちょうどよい例になります。

例：核からトレースを出す

連続で対称な正定値の核をもつ積分作用素は、トレースクラスになります。トレースは対角線上の積分で書ける^[2]。

$$\mathrm{tr}(T)={\int }_0^{1}K(x,x)dx$$

$K(s,t)=\min (s,t)$ で試しましょう。対角では $K(x,x)=x$ なので、積分は $\frac{1}{2}$ です。

固有値からも計算できます。この核の固有値は $\frac{4}{(2n-1{)}^2{\pi }^2}$ になります。

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4}{(2n-1{)}^2{\pi }^2}=\frac{4}{{\pi }^2}\cdot \frac{{\pi }^2}{8}=\frac{1}{2}$$

$2$ 通りの計算が一致しました。$\sum \frac{1}{(2n-1{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{8}$ を使っています。

双対の関係

階級のあいだには、数列空間と同じ双対の構造があります^[2,3]。

コンパクト作用素の空間の双対がトレースクラス、トレースクラスの双対が有界作用素の全体です。

$$\mathcal{K}(H{)}^{\ast }\cong {\mathcal{S}}_1,{\mathcal{S}}_1^{\ast }\cong \mathcal{B}(H)$$

$c_0^{\ast }={\ell }^1$、$({\ell }^1{)}^{\ast }={\ell }^{\infty }$ という並びと、そっくり同じ形になります。

対応は $T\mapsto \mathrm{tr}(AT)$ という汎関数で与えられます^[2]。

答えを確かめる

特異値を出すときは $T^{\ast }T$ の固有値を求め、平方根をとります。$T$ の固有値ではありません。

階級を判定するときは、特異値の減り方を $\frac{1}{n^p}$ と比べる。$p>1$ ならトレースクラス、$p>\frac{1}{2}$ ならヒルベルト・シュミットです。

トレースは基底によらないので、計算しやすい基底を選べます。値が食い違ったら、トレースクラスに入っていない疑いがあります。

まちがえやすいところ

大きさと向きに分ける。この $1$ 手で、作用素の細かい分類がすべて特異値の数列の問題に変わります。

参考文献