双対の双対に戻ってこない空間がある - 反射性と標準埋め込み

${\ell }^2$ の双対は ${\ell }^2$ です。もう 1 回とっても ${\ell }^2$ に戻ります。

${\ell }^1$ はそうなりません。双対は ${\ell }^{\infty }$、その双対は ${\ell }^1$ よりずっと大きい空間になる^[1]。

戻るかどうかを決めているのは標準埋め込みという 1 本の写像です。同型があるかどうかではなく、この写像が全射かどうかで決まります^[1]。

標準埋め込み

$X$ をノルム空間、$X^{\ast }$ をその双対、$X^{\ast \ast }$ を双対の双対とします。$x\in X$ に対して次の写像を作ります^[2]。

$$J(x)(f)=f(x)(f\in X^{\ast })$$

$x$ を固定して $f$ を動かす、という見方です。汎関数を値に変える写像なので、$J(x)$ は $X^{\ast }$ 上の汎関数になる。

線形性はすぐ分かります。$|J(x)(f)|=|f(x)|\le \Vert f\Vert \Vert x\Vert$ から、$\Vert J(x)\Vert \le \Vert x\Vert$ も出ます。

ノルムが保たれる理由

逆向きの不等式にハーン・バナッハの定理を使います。$x\ne 0$ に対し、$\Vert f\Vert =1$ かつ $f(x)=\Vert x\Vert$ をみたす $f\in X^{\ast }$ がとれる。

この $f$ を入れると $J(x)(f)=\Vert x\Vert$ なので $\Vert J(x)\Vert \ge \Vert x\Vert$ です。合わせて等号になります^[1]。

$$\Vert J(x)\Vert =\Vert x\Vert$$

等長なので単射でもある。$J$ はいつでも $X$ を $X^{\ast \ast }$ の中へ、形を変えずに置きます^[3]。

反射的の定義

$J$ が全射であるとき、$X$ を反射的といいます^[3]。等長なので、全射なら $J$ は等長同型になります。

大事なのは、$X$ と $X^{\ast \ast }$ のあいだに何か同型があればよい、という話ではないところです。

ジェイムズ空間という例があります。二重双対と等長同型でありながら、$J$ が全射でないので反射的ではない^[1]。

$J$ そのものを見る。ほかの写像で代用できません。

例：有限次元は必ず反射的

$\dim X=n$ とします。$X^{\ast }$ の次元も $n$、$X^{\ast \ast }$ の次元も $n$ です。

$J$ は単射な線形写像なので、同じ次元どうしなら全射になります。有限次元のノルム空間はすべて反射的^[2]。

${\mathbb{R}}^3$ で確かめると、双対も ${\mathbb{R}}^3$、二重双対も ${\mathbb{R}}^3$。$J$ は座標をそのまま写す写像になります。

例：数列空間の一覧

無限次元では話が変わります。双対を $2$ 回とった行き先を並べます^[1]。

$1<p<\infty$ の範囲だけが往復できます。両端の $1$ と $\infty$ で対称性が崩れる。

$L^p$ でも同じです。$1<p<\infty$ なら反射的、$L^1$ と $L^{\infty }$ は無限次元なら反射的ではありません^[2]。

例：c0 でどこがはみ出すか

$c_0$ を、$0$ に収束する数列全体とします。双対は ${\ell }^1$、その双対は ${\ell }^{\infty }$ です。

$J$ は自然な包含になります。$c_0$ の元をそのまま ${\ell }^{\infty }$ の元と見る写像です。

はみ出すものはすぐ見つかる。$(1,1,1,\dots )$ は ${\ell }^{\infty }$ に住んでいますが、$0$ に収束しないので $c_0$ にありません。

$J(c_0)=c_0⊊{\ell }^{\infty }$ なので全射ではない。$c_0$ は反射的でないと分かりました。

ノルムを実現しない汎関数

反射性は、別の言い方でも書けます。ジェイムズの定理です^[1]。

バナッハ空間 $X$ が反射的であることと、どの $f\in X^{\ast }$ も閉単位球の上でノルムを実現することは同値になります。

$c_0$ で実現しない汎関数を作ってみましょう。

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}$$

係数の列 $\left(\frac{1}{2^n}\right)$ は ${\ell }^1$ の元で、そのノルムは $\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{-n}=1$。だから $\Vert f\Vert =1$ です。

$|f(x)|=1$ になるには、すべての $n$ で $x_n=1$ が要ります。ところがその列は $0$ に収束しないので $c_0$ の外。

上限には近づきますが、届きません。

先頭 $N$ 個だけ $1$ にした列を入れると、値は $1-2^{-N}$ になります。$N$ を増やせばいくらでも $1$ に近づく。

それでも $1$ そのものは出ません。上限が実現しないので、ジェイムズの定理から $c_0$ は反射的でないと分かります^[1]。

例：連続関数の空間

$C[0,1]$ でも同じ形の反例が作れます。次の汎関数を考えましょう。

$$\Lambda (f)={\int }_0^{1/2}f(t)dt-{\int }_{1/2}^{1}f(t)dt$$

$|\Lambda (f)|\le \Vert f{\Vert }_{\infty }$ なので $\Vert \Lambda \Vert \le 1$ です。前半で $1$、後半で $-1$ に近い関数を作れば、値は $1$ に近づきます。

$1$ ちょうどにするには、前半で $f=1$、後半で $f=-1$ が要る。そんな連続関数はありません。

実現しない汎関数があるので、$C[0,1]$ は反射的ではありません^[3]。

弱い位相でのコンパクト性

反射性はコンパクト性とも結びつきます。角谷の定理です^[2]。

バナッハ空間が反射的であることと、閉単位球が弱位相でコンパクトであることは同値になります。

ノルムの位相では、無限次元の単位球は決してコンパクトになりません。位相を弱めると、反射的な空間でだけコンパクト性が戻ってくる。

エーベルライン・シュムリアンの定理を合わせると、点列の言葉にも直せます^[3]。有界な列が弱収束する部分列を持つことと反射性が同値になる。

一様凸なら反射的

単位球の形からも反射性が言えます。$\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1$ かつ $\Vert x-y\Vert \ge \epsilon$ なら、中点が縁から $\delta$ だけ内側に入る、という性質を一様凸といいます。

$$\Vert \frac{x+y}{2}\Vert \le 1-\delta$$

一様凸なバナッハ空間は反射的になります。ミルマン・ペティスの定理です^[3]。

$L^p$ と ${\ell }^p$ は $1<p<\infty$ で一様凸なので、これだけで反射性が出る。単位球の縁が丸いかどうかが効いています。

例：平らな辺で何が起きるか

${\ell }^1$ の $2$ 次元版で見ます。$x=(1,0)$ と $y=(0,1)$ はどちらもノルム $1$ です。

差のノルムは $\Vert x-y{\Vert }_1=2$ なので、かなり離れている。ところが中点は $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ で、ノルムはやはり $1$ です。

離れた $2$ 点の中点が縁に残る。$\delta$ がとれないので一様凸ではありません。

${\ell }^2$ なら中点のノルムは $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$ まで下がります。ここが分かれ目になっている。

受け継がれる性質

反射性は、いくつかの操作で保たれます^[1]。

閉部分空間の性質は使い道が広い。反射的でない空間が閉部分空間として入っていれば、全体も反射的でないと分かります。

答えを確かめる

反射的かどうかを疑ったら、まずノルムを実現しない汎関数を探します。$1$ つ見つかれば、その時点で反射的ではありません。

上限に近づく列を書き、極限がその空間に残るかを見る。$c_0$ でも $C[0,1]$ でも、極限が空間の外へ出ていました。

反射的だと示すほうは、$1<p<\infty$ という形に持ち込むか、一様凸性を確かめる道が早い。

まちがえやすいところ

$J$ という 1 本の写像が全射かどうか。反射性の話は、最後まですべてここに帰ります。

出典