正の作用素はどれも「平方根」をただ 1 つもつ

単位行列の平方根はいくつもある。 $I$ と $- I$ はもちろん、 $diag (1, - 1)$ のような鏡映もすべて二乗すると $I$ になる。

数を絞る条件が正値性である。正の作用素にかぎると、正の平方根はただ $1$ つに決まる^[4]。

この一意性が、極分解にも作用素の順序にも効いてくる。まず正の作用素とは何かから始める。

正の作用素

$H$ を複素ヒルベルト空間、 $T$ を有界作用素とする。すべての $x$ で次が成り立つとき、 $T$ を正という^[1]。

$⟨ T x, x ⟩ \geq 0$

値が実数であることまで条件に含まれている。複素の場合はここから自己共役性が出る^[4]。

$⟨ T x, x ⟩$ が実数なら $⟨ T x, x ⟩ = ⟨ x, T x ⟩$ となり、分極恒等式から $⟨ T x, y ⟩ = ⟨ x, T y ⟩$ が従う。

実ヒルベルト空間ではこうならない。 $90$ 度の回転は $⟨ R x, x ⟩ = 0$ をみたすが、対称ではない^[4]。

同値な言いかえ

自己共役な作用素については、正であることが次のどれとも同値になる^[1]。

ある閉作用素

B

で

T = B^{*} B

と書ける。

ある自己共役な

B

で

T = B^{2}

と書ける。

スペクトルが

[0, \infty)

に含まれる。

$3$ つ目がいちばん使いやすい。自己共役なのでスペクトルは実数の上にあり、あとは負の側に出るかどうかを見るだけである^[3]。

例：2 次の行列で見る

次の行列を調べる。

$A = (2112)$

二次形式を計算すると $⟨ A x, x ⟩ = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2}$ になる。平方の和に組み直せる。

$2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + (x_{1} + x_{2})^{2}$

どの項も $0$ 以上なので、 $A$ は正である。固有値は $3$ と $1$ で、どちらも正になっている。

作用素の順序

正値性を使うと、作用素どうしを比べられる。 $T - S$ が正のとき $S \leq T$ と書く^[4]。

反射律と推移律は明らかである。反対称律も出る。 $S \leq T$ かつ $T \leq S$ なら、すべての $x$ で $⟨(T - S) x, x ⟩ = 0$ になり、自己共役性から $T = S$ が従う。

ただし全順序ではない。比べられない組がある。

$P = diag (1, 0)$ と $Q = diag (0, 1)$ をとると、 $P - Q = diag (1, - 1)$ である。これは正でも負でもない。

正の作用素の全体は錐をなす。足し算と正のスカラー倍で閉じているが、引き算では出てしまう^[1]。

平方根の作り方

$T$ を正の作用素とする。スペクトルは $[0, \infty)$ に入るので、 $f (t) = t$ が $σ (T)$ の上で連続である^[1]。

連続関数カルキュラスで $f (T)$ が定まる。これを $T$ と書く。

$f (t)^{2} = t$ なので、準同型性から $(T)^{2} = T$ になる。 $f$ が非負なのでスペクトルも非負、つまり $T$ も正である。

一意性も同じ道具から出る。 $S \geq 0$ が $S^{2} = T$ をみたすとしよう。

$\cdot$ と二乗を合成すると恒等関数なので、 $f (S^{2}) = S$ である。したがって $S = f (S^{2}) = f (T) = T$ になる。

$T$ と可換な作用素は $T$ とも可換である。多項式で近似する作り方から従う。

例：単位行列に戻る

冒頭の話を整理する。 $I$ の平方根は無数にある。 $diag (1, - 1)$ も $diag (- 1, 1)$ も二乗すれば $I$ になる。

そのうち正のものは $I$ だけである。 $diag (1, - 1)$ は固有値に $- 1$ を持つので正ではない。

条件を「正」に絞った瞬間、候補が $1$ つに落ちる。

例：平方根を計算する

さきほどの $A$ の平方根を出す。固有値 $3$ と $1$ に対応する固有ベクトルは $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ の向きである。

固有値の平方根をとって組み直すと、次の形になる。

$A = \frac{3 + 1}{2} (1001) + \frac{3 - 1}{2} (0110)$

数値にすると対角が $1.366$ 、非対角が $0.366$ である。

二乗して確かめる。対角成分は $1.36 6^{2} + 0.36 6^{2} = 1.866 + 0.134 = 2.000$ になった。

非対角成分は $2 \times 1.366 \times 0.366 = 1.000$ である。もとの $A$ に戻った。

直交射影

正の作用素のうち、直交射影はとくに素直な形をしている。次の $2$ つで特徴づけられる^[2]。

$P^{2} = P, P^{*} = P$

このとき $P$ は、ある閉部分空間の上への直交射影になる。逆に、どの閉部分空間にも射影がただ $1$ つ対応する^[2]。

正であることも計算で出る。

$⟨ P x, x ⟩ = ⟨ P^{2} x, x ⟩ = ⟨ P x, P x ⟩ = ∥ P x ∥^{2} \geq 0$

上からもおさえられる。 $∥ P x ∥ \leq ∥ x ∥$ なので $⟨ P x, x ⟩ \leq ∥ x ∥^{2}$ である。順序で書けば $0 \leq P \leq I$ になる。

$P \neq = 0$ ならノルムはちょうど $1$ である^[2]。

和と積はいつ射影になるか

$2$ つの射影を足したり掛けたりしても、射影になるとはかぎらない^[2]。

$P + Q$ が射影になるのは $P Q = 0$ のときだけである。 $2$ つの部分空間が直交していることを意味する。

$P Q$ が射影になるのは $P Q = QP$ のとき。そのとき像は $2$ つの部分空間の共通部分になる^[2]。

順序も部分空間の言葉に翻訳できる。 $P \leq Q$ であることと、 $P$ の像が $Q$ の像に含まれることは同値である^[2]。

例：可換でない 2 つの射影

平面で試す。 $P$ を $x$ 軸への射影、 $Q$ を $45$ 度の直線への射影とする。

$P = (1000), Q = \frac{1}{2} (1111)$

順に掛けると結果が違う。

$P Q = \frac{1}{2} (1010), QP = \frac{1}{2} (1100)$

$P Q$ を二乗すると $\frac{1}{4} <! - - aa 345 e dd 3 e b c 427 f 93 a 615 d 4 ba 536 b 4 d_{8} - - >$ になり、 $P Q$ とは違う。射影ではない。

$2$ つの直線の共通部分は原点だけである。可換でないので、その事実が積には現れない。

スペクトル分解へつながる

自己共役な作用素には、単位の分解と呼ばれる射影の族 $E_{λ}$ が対応する^[3]。

$A x = \int λ d E_{λ} x$

積分の測度の役割を射影が担っている。対角化を無限次元へ延ばした形である。

正値性は $λ \geq 0$ の範囲だけに測度が乗ることに対応する。順序も平方根も、この分解の上では固有値の話に戻る^[3]。

正の作用素

スペクトルが $[0, \infty)$ に入る。平方根がただ 1 つ決まる

直交射影

スペクトルが ${0, 1}$ に入る。閉部分空間と 1 対 1 に対応する

冒頭の問いに、ここまでの条件を当ててみる。

$2$ 次の単位行列の平方根のうち、正の作用素であるものはいくつあるか。

無数にある
$1$ つだけ
$2$ つ

__RESULT__

$diag (1, - 1)$ や $diag (- 1, 1)$ も二乗すれば単位行列に戻るので、平方根そのものは無数にある。そのうち固有値がすべて非負なのは $I$ だけである。 $2$ つと答えるのは $- I$ を数えた場合だが、 $- I$ の固有値は $- 1$ で正ではない。

検算

平方根を求めたら二乗して戻す。対角成分と非対角成分を別々に確かめると、計算違いが見つけやすい。

射影かどうかは $P^{2}$ と $P$ を比べる。ずれていれば射影ではない。

順序を主張するときは $T - S$ の二次形式を書き、平方の和に組み直せるかを見る。組み直せなければ、負になる方向が残っている。

正値性という $1$ つの条件が、平方根の一意性も射影の特徴づけも支えている。

出典

Positive operator. Encyclopedia of Mathematics.

Orthogonal projector. Encyclopedia of Mathematics.

Self-adjoint operator. Encyclopedia of Mathematics.

Positive operator (Hilbert space)). Wikipedia.

単位行列の平方根は無数にあります。$\operatorname{diag}(1, -1)$ でも二乗すれば戻る。正のものだけに絞ると、ただ 1 つに決まります。$\langle Tx, x \rangle \geq 0$ という条件は複素なら自己共役性まで含み、スペクトルが $[0, \infty)$ に入ることと同値。$T - S \geq 0$ で順序も入りますが、比べられない組が残ります。直交射影は $P^2 = P = P^{*}$ で決まり、和や積が射影になる条件、可換でない 2 つの射影の計算まで見ました。