縮まなくても不動点は見つかるか？シャウダーの不動点定理

縮小写像には不動点がただ $1$ つあります。距離が $k<1$ 倍に縮むという条件が、繰り返しを $1$ 点へ追い込みます。

縮まない写像はどうか。区間 $[0,1]$ から自分自身への連続写像なら、グラフが対角線を必ず横切ります。縮む必要はありません。

無限次元でも同じことが言えるかどうか。条件を $1$ つ足せば言えます。それがシャウダーの不動点定理です^[1]。

有限次元での出発点

$n$ 次元の閉じた有界な凸集合 $S$ と、連続写像 $f:S\to S$ をとります。このとき $f(x)=x$ をみたす $x$ があります^[3]。

ブラウワーの不動点定理です。縮むことも、微分できることも要りません。

$1$ 次元なら中間値の定理で示せます。$g(x)=f(x)-x$ とおくと $g(0)\ge 0$、$g(1)\le 0$ なので、途中で $0$ になる点があります。

無限次元では崩れる

そのまま無限次元へ持っていくと成り立ちません。閉じた単位球は、有界で閉じた凸集合なのに不動点の性質を持ちません^[4]。

反例を書きます。${\ell }^2$ の閉単位球の上で、次の写像を考えましょう。

$$T(x_1,x_2,x_3,\dots )=\left(\sqrt{1-\Vert x{\Vert }^2},x_1,x_2,\dots \right)$$

まず行き先が球に入ることを見ます。ノルムの二乗を計算する。

$$\Vert T(x){\Vert }^2=(1-\Vert x{\Vert }^2)+\Vert x{\Vert }^2=1$$

像はいつも球面の上です。連続でもあります。

不動点があると仮定しましょう。$T(x)=x$ なら $\Vert x\Vert =1$ なので、第 $1$ 成分は $\sqrt{1-1}=0$ です。

ずらしの関係から $x_2=x_1=0$、$x_3=x_2=0$ と続き、すべての成分が $0$ になります。$\Vert x\Vert =0$ となって $\Vert x\Vert =1$ と矛盾する。

有界で閉じた凸集合というだけでは足りません。何かを足す必要があります。

シャウダーの定理

足すのはコンパクト性です。主張は $2$ つの形で書けます^[1,2]。

$1$ つ目。$K$ をバナッハ空間のコンパクトな凸集合、$T:K\to K$ を連続写像とすると、不動点があります。

$2$ つ目。$K$ を有界閉凸集合とし、$T$ が完全連続、つまり $T(K)$ の閉包がコンパクトなら、やはり不動点があります^[1]。

集合をコンパクトにするか、写像に像を縮める働きを持たせるか。どちらでも同じ結論に届きます。

さきほどの反例では、$T$ の像が球面全体で、閉包がコンパクトになりません。条件が外れていました。

証明の筋

証明はブラウワーの定理へ帰着させます^[1]。

$T(K)$ の閉包はコンパクトなので、有限個の点で $\epsilon$ 網が作れます。その点たちの凸包は有限次元です。

像をその凸包へ押し込む写像を作ると、有限次元の連続写像になります。ブラウワーの定理から不動点が $1$ つ出る。

$\epsilon$ を小さくしていくと、近似の不動点の列ができます。コンパクト性から収束する部分列がとれ、その極限が本物の不動点になります。

バナッハの定理との違い

$2$ つの定理は、得られるものが違います。

縮小写像の定理は不動点の一意性まで言い、しかも繰り返しで近づける手順を与えます。誤差の評価も出る。

シャウダーの定理が言うのは存在だけです。いくつあるかは分かりませんし、見つける手順も付いてきません。

例：微分方程式の解を作る

$y^{\prime }=f(t,y)$、$y(t_0)=y_0$ を考えます。$f$ は連続とだけ仮定しましょう。

積分の形に直します。解であることと、次の等式をみたすことは同じです。

$$y(t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,y(s))ds$$

右辺を写像 $T$ と見ます。適当な閉区間と幅をとると、$T$ は連続関数の空間のある有界閉凸集合を自分自身へ写します。

像は同程度連続で一様有界です。アスコリ・アルツェラの定理から、閉包がコンパクトになる。

シャウダーの定理が使えて、不動点、つまり解が存在します^[4]。リプシッツ条件なしで存在が言えました。

一意性は出ません。$y^{\prime }=\sqrt{|y|}$、$y(0)=0$ には $y=0$ と $y=\frac{t^2}{4}$ の両方があります。

例：積分方程式

非線形の積分方程式にも同じ手が効きます。

$$u(x)=g(x)+{\int }_0^{1}k(x,y)\phi (u(y))dy$$

$k$ と $\phi$ が連続で、$\phi$ が有界なら、右辺の写像は $C[0,1]$ の有界閉凸集合を自分自身へ写します。

積分作用素が像をなめらかにするので、同程度連続性が出ます。閉包がコンパクトになり、シャウダーの定理が使える。

$\phi$ がリプシッツ連続でなくても、解の存在が言えます。縮小写像では手が届かない場面です。

局所凸空間まで広げる

ノルムがなくても成り立ちます。ハウスドルフな局所凸位相線形空間で、$K$ を空でない閉凸集合とします^[4]。

$T:K\to K$ が連続で $T(K)$ がコンパクトな部分集合に含まれるなら、不動点があります。シャウダー・チコノフの定理と呼ばれます。

分布の空間のような、ノルムの入らない場所でも使えるということです。

例：凸でないと消える

凸性も外せません。単位円周を $90$ 度回す写像を考えましょう。

連続で、円周を円周へ写します。それでも動かない点は $1$ つもありません。どの点も $90$ 度先へ動きます。

円周はコンパクトですが凸ではない。穴があいているので、定理の仮定をみたしません。

円板にすれば凸になります。回転の中心が不動点になり、結論が戻ります。

例：ずらしの写像を計算する

さきほどの反例で、具体的な値を入れます。$x=(1,0,0,\dots )$ をとりましょう。

$\Vert x\Vert =1$ なので第 $1$ 成分は $\sqrt{1-1}=0$ です。あとは成分が $1$ つずつ後ろへずれます。

$$T(1,0,0,\dots )=(0,1,0,\dots )$$

もう一度当てると $(0,0,1,0,\dots )$ になります。$1$ の位置が右へ動き続け、どこにも落ち着きません。

よくある誤り

縮むかどうかではなく、動ける範囲がコンパクトかどうか。無限次元で不動点を探すときは、この $1$ 点を確かめます。

参考文献