反復で積分方程式を解く〜どこまで係数を大きくできるか

次の形の方程式を解きます。未知の関数が積分の中にも外にも現れる形です^[3]。

$$u(x)=f(x)+\lambda {\int }_0^{1}k(x,y)u(y)dy$$

右辺に $u$ を入れ直す。これを繰り返すと級数ができます^[1]。

$$u=f+\lambda Kf+{\lambda }^2{K}^{2}f+\dots$$

ノイマン級数です。$|\lambda |$ が小さければ収束します。では、どこまで大きくできるのか。

核を決める

計算しやすい核をとります。

$$k(x,y)=xy$$

$x$ と $y$ に分かれているので、積分の外へ $x$ を出せます。

$$(Kf)(x)=x{\int }_0^{1}yf(y)dy$$

出てくるのは $x$ の定数倍だけです。像が $1$ 次元なので、$K$ は階数 $1$ の作用素になります。

ノルムとスペクトル半径

$K$ を $x$ に当てます。${\int }_0^{1}y\cdot ydy=\frac{1}{3}$ なので、次のようになります。

$$Kx=\frac{1}{3}x$$

$x$ は固有値 $\frac{1}{3}$ の固有関数です。像が $x$ の定数倍だけなので、これ以外の固有値は $0$ しかありません。

スペクトル半径は $\frac{1}{3}$ です。$L^2$ での作用素ノルムも同じ値になります。

級数 $\sum (\lambda K{)}^n$ が収束するのは $\Vert \lambda K\Vert <1$ のとき^[2]。つまり次の範囲です。

$$|\lambda |<3$$

厳密解を先に出す

核が分かれているので、厳密解は連立方程式に落ちます^[3]。

$c={\int }_0^{1}yu(y)dy$ とおくと、方程式は $u=f+\lambda cx$ という形になります。

これを $c$ の定義に代入します。$f=1$ の場合で計算しましょう。

$$c={\int }_0^{1}ydy+\lambda c{\int }_0^1{y}^{2}dy=\frac{1}{2}+\frac{\lambda c}{3}$$

$c$ について解くと $c=\frac{3}{2(3-\lambda )}$ です。答えが書けました。

$$u(x)=1+\frac{3\lambda }{2(3-\lambda )}x$$

$\lambda =3$ で分母が消えます。これが固有値で、そこでは解が作れません^[3]。

例：λ = 1 で反復する

$u_0=f=1$ から始め、$u_{n+1}=1+K{u}_n$ を繰り返します。

$K{u}_0=x{\int }_0^{1}ydy=\frac{x}{2}$ なので $u_1=1+0.5x$ です。

次は $K{u}_1=x\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)=\frac{2}{3}x$ なので $u_2=1+0.6667x$ になります。

同じように続けると係数が並びます。

厳密解は $u(x)=1+0.75x$ です。差が毎回 $\frac{1}{3}$ になっている。

これは $\Vert \lambda K\Vert =\frac{1}{3}$ という比そのものです。収束の速さが、はじめから計算で分かります。

例：λ = 4 では発散する

同じ反復を $\lambda =4$ でやります。$u_1=1+2x$、$u_2=1+4.667x$ と増えていきます。

係数は $\frac{4}{3}$ 倍ずつ大きくなる。$|\lambda |<3$ を外れているので、級数が収束しません。

ところが厳密解は存在します。式に $\lambda =4$ を入れましょう。

$$u(x)=1+\frac{12}{2\times (-1)}x=1-6x$$

確かめます。$Ku=x{\int }_0^{1}y(1-6y)dy=x\left(\frac{1}{2}-2\right)=-1.5x$ です。

$1+4\times (-1.5x)=1-6x$ で、もとの $u$ に戻りました。解は確かに存在します。

級数が発散することと、解がないことは別の話です。収束半径は解法の限界であって、方程式の限界ではありません。

λ を動かして眺める

$\lambda$ を複素平面で動かすと、$3$ つの領域に分かれます。

固有値 $\frac{1}{3}$ の逆数が $3$ です。特性値と呼ばれる量で、ここが解ける範囲の境目になります^[3]。

例：核を変える

$k(x,y)=\frac{1}{2}xy$ にすると、固有値が半分になります。$Kx=\frac{1}{6}x$ です。

収束する範囲は $|\lambda |<6$ に広がります。核を小さくすると、反復が効く範囲が広がる。

逆に $k(x,y)=3xy$ なら固有値が $1$ になり、$|\lambda |<1$ でしか反復が使えません。

核の大きさと解ける範囲は反比例します。核のノルムを先に見積もっておくと、反復を始める前に見通しが立ちます^[1]。

例：一般の核での見積もり

分かれていない核でも、上からの評価はできます。二乗の積分を使います。

$$\Vert K\Vert \le {\left({\int }_0^1{\int }_0^1|k(x,y){|}^{2}dxdy\right)}^{1/2}$$

$k(x,y)=xy$ で計算すると ${\int }_0^1{\int }_0^1{x}^2{y}^2=\frac{1}{9}$ なので、上限は $\frac{1}{3}$ です。

今回は階数 $1$ なので、上限と実際のノルムが一致しました。一般には上限のほうが大きくなります。

この評価だけでも、$|\lambda |$ の安全な範囲が出せます^[1]。

解の形が λ でどう変わるか

$u(x)=1+\frac{3\lambda }{2(3-\lambda )}x$ の係数を並べます。

$\lambda$ を $3$ に近づけると係数が飛びます。$3$ を越えると符号が変わる。

固有値の位置で解が破綻し、その先で符号が反転する。有限次元の連立方程式で行列式が $0$ になる場面と同じ構造です。

収束する範囲の出し方を、もう一度たどっておきます。

検算のしかた

反復で出した近似解は、もとの方程式に入れて確かめます。$u=f+\lambda Ku$ の両辺を計算し、差の大きさを見る。

厳密解が書ける場合は、そちらと突き合わせます。差が毎回 $\Vert \lambda K\Vert$ 倍で縮んでいるかも確かめておきたい。

比が合わなければ、$K$ のノルムの見積もりが違っています。核の積分をやり直します。

$\lambda$ が特性値に近いときは、収束が遅くなります。$\lambda =2.9$ なら比が $0.967$ なので、$1$ 桁縮めるのに $70$ 回ほど要ります。

参考文献